Derivado $\Delta x$ $dx$ diferencia

Question

Esto puede parece un maniquí pregunta, pero tengo que preguntarle a él.

Considere la definición de derivada:

$$\frac{d}{dx}F(x) = \lim_{\Delta x->0}\frac{F(x+\Delta x) - F(x)}{\Delta x} = f(x)$$ También:

$$f(x)\Delta x = F(x+\Delta x) - F(x) \tag{When $\Delta x$ gets closer to $0$}$$

También puedo decir que:

$$\frac{d}{dx}F(x) = f(x)$$

Así:

$$dF(x) = f(x)dx$$

pero $dF(x)$ también puede ser visto como $F(x+\Delta x) - F(x) \tag{When $\Delta x$ gets closer to $0$}$

Así debería de ser $dx$ ser considerada $\Delta x \tag{When $\Delta x$ gets closer to $0$}$?

Creo que esto es incorrecto, porque es lo mismo que decir $\lim_{\Delta x \to 0} \Delta x =dx$ cuando en verdad $\lim_{\Delta x \to 0} \Delta x =0$. O quizás $\Delta x$ ya significa un cambio en $x$, por lo que el límite de este cambio, accesos infinito va a ser $dx$. En este caso, no hay problema, pero en los casos en que la gente usa $h$ lugar $\Delta x$?

Creo que me estoy consufing mucho. Lo siento...

Answer 1

Tu pregunta es muy buena. Hay algo que se llama la "no-estándar" de los números. Tratando de definir ellos, tendríamos el conjunto $$\{ \alpha, \text{such that } 0 < \alpha < x, \forall x \in \mathbb{R}\}$$ Lo que sucede, es que el $\mathrm{d}x$ es en ese conjunto, mientras que $\Delta x$ no lo es. Por ejemplo, vamos a diferenciar $y = f(x) = x^2$, creo que de $\mathrm{d}x$ como un infinitesimal preocupante en $x$ que hace que el otro infinitesimal inquietante $\mathrm{d}y$$y$, que es:

$$y + \mathrm{d}y = (x+ \mathrm{d}x)^2 = x^2 + 2x \mathrm{d}x + {\mathrm{d}x}^2 \\ \mathrm{d}y = 2x \mathrm{d}x + {\mathrm{d}x}^2 \\ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = 2x + \mathrm{d}x $$

A continuación, se preguntaba: ¿pero no es la derivada de $x^2$, $2x$? El hecho de que las diferencias son menores que cualquier número real podría justificar descuidar el resto de $\mathrm{d}x$, nos gustaría tener la norma parte de la derivada acabamos de calcular.

$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \operatorname{std}(2x + \mathrm{d}x) = 2x$$

De la misma manera que hemos descuidado la $\mathrm{d}x$ aquí hemos de hacer la misma de orden superior diferenciales, como $\mathrm{d}x \mathrm{d}y$ (producto) o ${\mathrm{d}x}^2$ (poderes). Yo sugest intenta diferenciar $x^3$ sentir esto, y espero que esto ayude.