Inversa de los Límites de la Teoría de Galois

Question

Actualmente estoy tomando un primer curso de Teoría de Galois y estamos estudiando finito campos en el momento. En las conferencias que han definido el límite inversa de la inversa del sistema de grupos finitos y tenía el ejemplo de la p-ádico enteros. Sin embargo, estoy luchando para ver realmente lo que es un límite inversa en realidad parece. También, parece implícito de mis notas que sí es un grupo, aunque no sé lo que la operación es (pointwise tal vez?). En total, este tema parece haber salido de la nada y realmente no entiendo los puntos básicos de la inversa de los límites. Yo estaría muy agradecido si alguien me podría dar algunos ejemplos básicos/intuiciones.

Muchas gracias!

Answer 1

Uno puede interpretar una imagen homomórfica de una estructura algebraica como un "colapsado" o "baja resolución" versión de la misma, ya que los diferentes elementos de la estructura original hacerse borrosa juntos a convertirse en el mismo píxel en la imagen. Por lo tanto si tenemos una cadena de surjective homomorphisms, estamos cada vez más alto y de mayor resolución de imágenes de ... algo, "en el límite". Ese algo es el límite inversa.

Considere la posibilidad de los números reales por un momento. ¿Qué son? La mayoría de la gente tiene una idea intuitiva de un continuum y que tal vez han sido expuestos a la frase "número de línea," pero sólo una fracción de las personas que estudian matemática - conocer cómo realmente podemos construir los números reales. La gente puede citar expansiones decimales, por ejemplo, la de pi, $\pi=3.1415\dots$, pero ¿qué significa eso? Esto significa que hay una serie de aproximaciones de forma indefinida el aumento de la precisión, $3$, $3.1$, $3.14$, $3.141$, $3.1415$, $\cdots$. De hecho, una construcción formal de los números reales es identificar un número real con un(n equivalence class) de secuencias de Cauchy. Podemos pensar en estas secuencias de Cauchy (racionales) como secuencias de las aproximaciones de los "fantasmas" que no están realmente allí en el conjunto de los racionales.

Es similar con la inversa de los límites. Pensar acerca de $\Bbb Z/p\Bbb Z\leftarrow\Bbb Z/p^2\Bbb Z\leftarrow\Bbb Z/p^3\Bbb Z\leftarrow\Bbb Z/p^4\Bbb Z\leftarrow\cdots$ con la canónica de los mapas de proyección. Cada entero positivo se puede escribir como $a_0+a_1p+\cdots+a_rp^r$, es decir, puede ser escrito en base a $p$. ¿Qué hace el mapa de proyección $\Bbb Z/p^{r+1}\Bbb Z\to\Bbb Z/p^r\Bbb Z$ do a la representación digital de un número entero de residuos? Sencillo: simplemente se elimina el $p^r$ dígitos. Por lo tanto, cualquier "secuencia de aproximaciones" puede ser identificado con un infinito base $p$ expansión, $a_0+a_1p+a_2p^2+\cdots$ (la secuencia de aproximaciones nos dice lo que cada dígito en la infinita expansión, y vice-versa).

En general, dada una cadena de $G_0\leftarrow G_1\leftarrow G_2\leftarrow\cdots$, y una secuencia $(g_0,g_1,g_2,\cdots)$, lo que es apropiado "compatible" (es decir,$g_{i+1}\mapsto g_i$) podemos pensar en él como un "convergente" secuencia cuyo límite es un elemento de la matriz inversa límite de $\varprojlim G_i$. La operación de la(s) puede ser hecho pointwise. Esta construcción funciona igual de bien si tenemos una no lineal del sistema de surjective homomorphisms.

Ahora vamos a pensar acerca de Galois automorfismos. Dado cualquier torre de $L/M/K$ en la que los tres extensiones de Galois sabemos que hay un surjection ${\rm Gal}(L/K)\to{\rm Gal}(M/K)$. Se puede considerar el sistema completo de tales mapas de proyección para las extensiones algebraicas de un campo determinado,$K$, $\varprojlim{\rm Gal}(L/K)$ (tenga en cuenta que los grupos son diferentes con el campo de $L$ en este límite). ¿Qué hace un elemento $\sigma$ de este límite inversa aspecto, de manera tangible? Bueno, para cualquier Galois de la extensión, hay una correspondiente automorphism $\sigma|_L$ de la extensión de $L/K$, por lo que en última instancia,$\sigma$, a través de todos estos $\sigma|_L$s, "sabe" dónde enviar cada elemento algebraico sobre $K$, lo que significa que este elemento "sabe" de un automorphism de $\overline{K}/K$. Y viceversa, ya que cualquier elemento de a ${\rm Gal}(\overline{K}/K)$ restringe a un automorphism de cualquier Galois de la extensión de $L/K$.

Si vemos la $\varprojlim{\rm Gal}(L/K)$ como el subgrupo de $\prod_L{\rm Gal}(L/K)$ compuesto de "compatible" elementos (recordemos, eso significa que nuestro "secuencias convergentes"), entonces lo obvio mapa de ${\rm Gal}(\overline{K}/K)\to\varprojlim{\rm Gal}(L/K)$ (donde el "$L$th" coordenadas de donde $\sigma$ se envía es simplemente la restricción de $\sigma$$L$) es un grupo de isomorfismo. La correspondiente inversa mapa es simplemente el proceso de la necesidad de unir todos los compatibles automorfismos de extensiones de Galois de $K$ en un gigante automorphism de $\overline{K}/K$.

También se puede dotar a estas inversa límites con el profinite topología en cuyo caso tenemos un isomorfismo topológico de los grupos. Otra forma de definir el límite inversa es a través de propiedades universales en la categoría de teoría. La unicidad de la inversa de los límites (hasta el único isomorphisms) se sigue de un simple resumen de absurdo argumento, y la existencia de la siguiente manera desde el uso de la construcción explícita que mencioné anteriormente.

Answer 2

Tu pregunta es ampliamente enmarcado, y para dar una respuesta satisfactoria, supongo que tendría que responder igualmente amplia. Volvamos a la (tal vez) el caso más simple y ejemplo, el $p$-ádico enteros $\Bbb Z_p$.

Permítanme describir $\Bbb Z_p$ en una manera que no es comúnmente visto. Considere el círculo de grupo $C\cong\Bbb R/\Bbb Z$. Usted puede pensar en él como el de los números complejos de valor absoluto $1$ si te gusta. Lo importante es que cada subgrupo finito es cíclica, y en particular, si miro todos los elementos de orden una potencia de $p$, estoy buscando la unión de todos los subgrupos cíclicos de $C$ que $p$-grupos. Cualquiera de estos se $C_{p^m}$ algunos $m$, y supongo que yo podría llamar a la unión de $C_{p^\infty}$.

Pero cuando se mira en la $C_{p^m}$, usted sabe que su anillo de endomorphisms es canónicamente isomorfo al anillo de $\Bbb Z/p^m\Bbb Z$. Y qué pasa con el grupo $C_{p^\infty}$, y su anillo de endomorphisms? Cualquier endomorfismo $\gamma$ debe restringir a cada una de las $C_{p^m}$ como un elemento $g_m$$\Bbb Z/p^m\Bbb Z$, pero estos diversos $g_m$'s deben encajar en un determinado sentido, es decir, que cuando $n<m$, $g_m\equiv g_n\pmod{p^n}$. ¿Puedes ver la definición de límite inversa aquí? Cuando se mira de cerca, verá que $\text{End}(C_{p^\infty})\cong\text{InvLim}_m(\Bbb Z/p^m\Bbb Z)$, y esto es sólo la definición de la $p$-ádico enteros.

Ahora vamos a ir a campos finitos. Deje $k$ ser una de esas, la característica no nos interesa aquí. Lo que sí nos interesa es que para cada $m$, $k$ tiene una extensión única $k_m$ grado $p^m$, y el grupo de Galois es cíclico de ese grado, $p^m$. Usted puede tomar la unión directo (límite) de los campos individuales $k_m$ si te gusta, y obtener $k_\infty$, la máxima $p$-extensión de la $k$ en una clausura algebraica. Es una infinita extensión de Galois, y de su grupo? Usted ve que el individuo Galois grupos cíclicos, $p$- grupos, tienen que encajar exactamente en la forma en que el endomorfismo de los anillos de los $C_{p^m}$ do anteriormente, de modo que el grupo de Galois de la máxima $p$-extensión de la $k$ es de nuevo $\Bbb Z_p$.

Por supuesto, no había nada especial acerca de la prime $p$, fue no la característica de $k$ (a pesar de que podría haber sido), por lo que el total del grupo de Galois de $k$ es el producto directo de todas las $\Bbb Z_p\,$'s, que se llama $\widehat{\Bbb Z}$.