Descuidar los términos de orden superior en expansión

Question

Supongamos que tenemos una función de $v$$x$, con un mínimo en $x=0$. Tenemos, por $x$ cerca de cero, $$v'(x) = v'(0) +xv''(0) +\frac{x^2}{2}v'''(0)+\cdots$$ Then as $v'(0)=0$ $$v'(x)\approx xv''(0)$$ if $$|xv'''(0)|\ll v''(0)$$

Lo cual está bien. Soy incapaz de entender esta afirmación:

Normalmente, cada extra derivado traerá consigo un factor de $1/L $ donde $L$ es la distancia sobre la cual los cambios en la función por un gran la fracción. Por lo $$x\ll L$$

Este es extraído de una física de la derivación, y no puedo conseguir lo que viró en un factor de $1/L$

Answer 1

Esta es una regla de oro en lugar de una rigurosa instrucción (que se indica con la palabra "normalmente"). Basta con mirar a $v(x)=\sin\frac xL$. La longitud en la que esta función cambia notablemente es de orden $L$. Ahora intenta diferenciar un par de veces. El siguiente ejercicio es tomar cualquier función suave $V$ y se extienden $L$ veces horizontalmente para obtener $v(x)=V(x/L)$. Ahora el cambio en $V$ que se sintieron en la distancia $1$ se siente a distancia$L$$v$. Intenta diferenciar aquí. Dudo de algo mucho más profundo que este simple escala de observación se refería.

Answer 2

Si cada uno de los derivados contribuye $\frac{1}{L}$,$|xv'''| << v'' \implies x(\frac{1}{L})^3 << (\frac{1}{L})^2$. Dividir ambos lados por $(\frac{1}{L})^3$ y esto se convierte en $x << L$.

Que $\frac{1}{L}$ término se refiere a los cambios en la función que de acuerdo con el método de diferencia de derivados (Definición a través de la diferencia de cocientes) que se da en Wikipedia. Si se calcula el cociente entre la segunda y la tercera derivados (o de primero y segundo), se debe aproximarse al resultado anterior, dado el contexto.