¿Qué es un parámetro local en la geometría algebraica?

Question

Shafarevich ofrece el siguiente teorema definición:

"En cualquier nonsingular punto $P$ de una curva algebraica irreducible, existe una función regular $t$ que se desvanece en $P$ y de tal manera que cada función racional $u$, que no es idéntica $0$ en la curva puede ser escrita en la forma $u = t^k v$, con $v$ regulares en $P$ y $v(P) \neq 0$. Una función $t$ con esta propiedad se llama un parámetro local en la curva de a $P$."

• He mirado a través de otros seis libros sobre geometría algebraica (La Geometría de los Planes Eisenbud y Harris, Curvas Algebraicas por Fulton, los Principios de la Geometría Algebraica por Griffiths y Harris, El Libro Rojo de las Variedades por Mumford, y Vakil en línea de notas Fundamentos de la Geometría Algebraica) y, a menos que yo haya cometido un error, ninguno, incluso, contienen la frase "parámetro local." Hartshorne parece tener la frase en un par de casos, pero ciertamente no da ninguna definición en todo similar a la anterior, y además de Hartshorne está por encima de mi nivel ahora mismo, así que no estoy en una buena posición para decidir si su uso está de acuerdo con que el anterior o no.

• El teorema anterior, me parece existir sólo en Shafarevich y en ningún otro lugar en la literatura matemática.

• Wikipedia ofrece los siguientes mucho más simple caracterización: "En la geometría del complejo de curvas algebraicas, un parámetro local para una curva $C$ en un suave punto $P$ es sólo una función de meromorphic en $C$ que tiene un cero simple $P$."

Así que mi pregunta es esta: ¿qué son exactamente estos parámetros locales, y cómo debo pensar en ellos? ¿Cómo puedo reconciliar lo que Wikipedia se ha escrito con lo que Shafarevich escribe? El nombre de "parámetro local" me sugiere que hay algunos simple caracterización de estas funciones que Shafarevich es mantener un misterio de mí (o es Shafarevich la definición más intuitiva de lo que me estoy encontrando?). Y, finalmente, son estos realmente presente prácticamente en ningún lugar en toda la matemática de la literatura, excepto Shafarevich, o hacer equivalentes las ideas bajo diferentes nombres?

Answer 1

Lo Shafarevic llamadas de un parámetro local es a menudo llamado un uniformizing parámetro en $P$, y es también la misma cosa como una uniformizer de el anillo local de $C$ a $P$.

El punto es que si $P$ es un punto suave en una curva, entonces el anillo local en $P$ (es decir, el anillo de funciones racionales en $C$, que son regulares en $P$) es un DVR, y de ahí su máximo ideal es principal; un generador de este ideal se llama uniformizer.

Si $t$ es un uniformizer/parámetro local/uniformizing parámetro en $P$, y si $u$ es cualquier otra función racional, entonces si escribimos $u = t^k v$ donde $v(P) \neq 0$ (es decir, $v$ es una unidad en el anillo local), luego $k$ es el orden de la desaparición de $u$ a $P$. En particular, $u$ desvanece a la orden si y sólo si es igual a $t$ de veces que una unidad en el anillo local, si y sólo si es también un generador de la máxima ideal del anillo local en $P$, si y sólo si es también un uniformizer. Por lo tanto Shafarevic y Wikipedia son reconciliados.

Se supone que uno debe pensar de $t$ "un local de coordenadas en $P$." En el complejo de la analítica de la imagen que usted elija un disco pequeño de alrededor de $P$, y considerar la coordenada $z$ en este disco; este local de coordenadas alrededor de la suave punto $P$. Esta analogía es muy apretado: de hecho, no es difícil demostrar (cuando la tierra es el campo de los números complejos) que una función racional $t$ es un parámetro local en $P$ si y sólo $t(P) = 0$, y si hay un pequeño barrio de $P$ (en la topología compleja) que se asigna isomorphically en un disco alrededor de $0$ por $t$, es decir, si y sólo si $t$ restringe a un local de coordenadas en un barrio de $P$.

Finalmente, este concepto es omnipresente. El hecho de que el anillo local en un punto sobre una suave curva algebraica es un DVR es fundamental en la algebraicas aproximación a la teoría de las curvas algebraicas; véase por ejemplo la sección 6 del Capítulo I de Hartshorne.

Answer 2

Un sinónimo de este término es "uniformizing parámetro" o "uniformizer," y este término no aparece en otros libros. Creo que se supone que debe ser el algebraicas analógica de un gráfico; en otras palabras, es un "local de coordenadas" en el punto. Quizás para comprender la geometría en el plazo que usted debe buscar en los libros de texto de primero las superficies de Riemann.

Answer 3

Creo que la página 146 de esta parece una explicación clara de los parámetros locales. Este es un artículo acerca de la geometría algebraica aplicada a la teoría de la codificación. También se utiliza "uniformizing parámetro" como un sinónimo como Qiaochu mencionado.