¿Por qué es la probabilidad de que una variable aleatoria continua toma un valor de cero?

Question

Mi entendimiento es que una variable aleatoria es en realidad una función de $X: \Omega \to T$ donde $\Omega$ es el espacio muestral de algún experimento al azar y $T$ es el conjunto a partir de la cual los valores posibles de la variable aleatoria.

Respecto del conjunto de valores que la variable aleatoria puede tomar en realidad, es la imagen de la función $X$. Si la imagen es finito, entonces $X$ debe ser una variable aleatoria discreta. Sin embargo, si se trata de un conjunto infinito, a continuación, $X$ puede o no puede ser una variable aleatoria continua. Si es depende de si la imagen es contable o no. Si es contable, entonces $X$ es una variable aleatoria discreta; mientras que si no lo es, entonces $X$ es continua.

Suponiendo que mi interpretación es correcta, ¿por qué el hecho de que la imagen es incontable implica que $Pr(X = x) = 0$.

Yo habría pensado que el hecho de que la imagen es infinito, independientemente de si es contable o no, ya que implica que $Pr(X = x) = 0$ ya que si es infinito, entonces el dominio $\Omega$ también debe ser infinito, y por lo tanto

$$Pr(X = x) = \frac{\text{# favorable outcomes}}{\text{# possible outcomes}} = \frac{\text{# outcomes of the experiment where X = x}}{|\Omega|} = \frac{\text{# outcomes of the experiment where X = x}}{\infty} = 0$$

Lo que está mal con mi argumento?

¿Por qué la probabilidad de que una variable aleatoria continua que toma un valor específico en realidad igual a cero?

Answer 1

El problema comienza con el uso de la fórmula

$$ Pr(X = x) = \frac{\text{# de resultados favorables}}{\text{# de resultados posibles}}\;. $$

Este es el principio de la indiferencia. Es a menudo una buena manera de obtener las probabilidades en situaciones concretas, pero no es un axioma de la probabilidad y distribuciones de probabilidad puede tener muchas otras formas. Una distribución de probabilidad que satisface el principio de indiferencia es una distribución uniforme; cualquier resultado es igualmente probable. Tienes razón en que no es uniforme la distribución de más de un countably conjunto infinito. Hay, sin embargo, no uniforme de las distribuciones más de countably conjuntos infinitos, por ejemplo, la distribución de $p(n)=6/(n\pi)^2$$\mathbb N$.

Para innumerables conjuntos, por otro lado, no puede ser cualquier distribución uniforme o no, que asigna probabilidad distinta de cero para una cantidad no numerable de elementos. Esto puede ser muestra de la siguiente manera:

Considerar todos los elementos cuya probabilidad se encuentra en $(1/(n+1),1/n]$$n\in\mathbb N$. La unión de todos estos intervalos es $(0,1]$. Si hay un número finito de estos elementos para cada una de las $n\in\mathbb N$, entonces podríamos enumerar todos los elementos de la primera la enumeración de los de $n=1$, $n=2$ y así sucesivamente. Por lo tanto, ya que no podemos enumerar una cantidad no numerable de elementos, debe haber un infinito (de hecho uncountably infinito) número de elementos en al menos una de estas clases. Pero luego contables de la suma de sus probabilidades resumir a más de $1$, lo cual es imposible. Por lo tanto no puede ser una distribución de probabilidad.

Answer 2

Voy a explicar mi comentario. Yo reclamo que el enunciado "La probabilidad de que una variable aleatoria continua que toma un valor específico en realidad igual a cero?" es falsa. Yo me quedo con la definición de que una variable aleatoria continua toma valores en una multitud innumerable, o, para ser más precisos, que no contables subconjunto tiene plena medida. Es el que se usa por Davitenio, y en la introducción de este artículo de la Wikipedia.

Tome su favorito real con valores de variable aleatoria continua; llamarlo $X$. Voltear una equilibrada de la moneda. Definir una variable aleatoria $Y$ por:

• Si la moneda muestra jefes, entonces,$Y=X$;
• Si la moneda muestra de las colas, a continuación,$Y=0$.

La variable aleatoria $Y$ tiene el mismo rango como $X$: cualquier valor que toma la $X$ puede ser alcanzada por $Y$, siempre que la moneda muestra jefes. Por lo tanto, es continua. Sin embargo, con una probabilidad de al menos $1/2$,$Y=0$, de modo que un valor específico no tiene probabilidad cero.

La buena idea aquí sería la noción de no-atómica medida. Un átomo es un punto de medida positiva, por lo que una variable aleatoria que no tiene ningún valor específico con probabilidad positiva es exactamente una variable aleatoria cuya imagen medir no es atómica. Esta es una tautología.

=====

Otra definición de "variable aleatoria continua" es un valor real (o finito-dimensional-espacio vectorial de valor) de la variable aleatoria cuya imagen medir la densidad con respecto a la medida de Lebesgue. Sí, incluso la Wikipedia da diferentes definiciones para el mismo objeto.

Si $X$ es una variable aleatoria continua con esta definición, entonces es una función de $f$, no negativo y con integral igual a $1$, tal que para cualquier conjunto de Borel $I$,$\mathbb{P} (X \in I) = \int_I f(x) dx$. Desde un singleton tiene cero de la medida de Lebesgue, obtenemos $\mathbb{P} (X = x) = 0$ todos los $x$.

=====

Mi opinión sobre el tema (advertencia: rant): yo realmente, realmente no les gusta el uso de la "variable aleatoria continua", y más en general el uso de "continuo" en oposición a los "discretos". Estos son el tipo de términos que son más definidos, de manera que no siempre se puede decidir qué definición tiene el usuario en mente. Incluso si es bastante molesto, prefiero el uso de "medir absolutamente continua con respecto a la medida de Lebesgue", o con un poco de abuso, "absolutamente continua de la medida", o "medir con una densidad". Con aún más el abuso, "absolutamente variable aleatoria continua". No es bastante ni riguroso, pero al menos sabe de lo que habla.

=====

PS: en cuanto a por qué su prueba no funciona, Joriki la respuesta es perfecta. Sólo quiero agregar que la fórmula

$$\mathbb{P} (X = x) = \frac{\# \{ \text{favorable outcomes} \} }{\# \{\text{possible outcomes}\}}$$

sólo trabajo con probabilidad finita de los espacios, y cuando todos los resultados tienen la misma probabilidad. Esto es lo que sucede cuando se han equilibrado las monedas, no cargan los dados, bien mezclado, barajas, etc. Entonces, usted puede reducir la probabilidad de problema a un problema combinatorio. Esto no se sostiene con total generalidad.

Answer 3

Como he mencionado en los comentarios, una variable aleatoria continua es aquella donde su función de distribución acumulativa es continua. Esto implicaría que el dominio es incontable, pero el dominio que se incontable no implica que la misma es una variable aleatoria continua. Estoy utilizando la definición dada en la Inferencia Estadística, por Casella y Berger, que no es un nivel de Doctorado texto, pero tal vez un nivel de Maestría de texto, es decir, no hay teoría de la medida está involucrado.

Por lo tanto, el contraejemplo dada por @D. Thomine es un buen contraejemplo a sus pensamientos. Usted puede tener una variable aleatoria con una multitud de dominio que tiene un valor distinto de cero probabilidad de que algunos de los valores. Pero, no es una variable aleatoria continua porque el CDF habría un salto en dichos puntos, y por lo tanto no puede ser continua.

Casella y Berger muestra, para una variable aleatoria continua,

$$0 \leq P(X = x) \leq P(x - \epsilon < X \leq x) = F(x) - F(x - \epsilon)$$

para todos los $\epsilon > 0$. Tomando el límite de ambos lados, como $\epsilon$ disminuye a 0, da

$$0 \leq P(X = x) = \lim_{\epsilon \downarrow 0} [F(x) - F(x - \epsilon)] = 0$$ por la continuidad de $F(x)$.

Answer 4

Este enlace contiene un buen auto-contenida y sencilla explicación. La mayoría de las respuestas parecen introducir sub-temas que no son particularmente útiles para alguien que busca un preliminar de la idea.