Canónica de conexión en el Frobenius pull-back

Question

Si $X$ es un esquema sobre un esquema de $S$ de los característicos $p>0$ $F:X\to X^{(p)}$ es la relativa Frobenius, se sabe que hay una canónica de conexión en el Frobenius pull-back $F^*E$ de un vector paquete (o coherente gavilla) en $X^{(p)}$. Este se define localmente a través de $f\otimes s\mapsto (1\otimes s)\otimes df$

Sin embargo, tengo problemas para entender esta conexión en ejemplos prácticos. Por ejemplo, si consideramos el $X=\mathbb{P}^{1}_{k}$ sobre un campo $k$ de los característicos $p>0$, (en el que caso de $X^{(p)}=X=\mathbb{P}^{1}_{k}$) y una invertible gavilla $\mathcal{O}_{\mathbb{P}^{1}_{k}}(n)$, ¿cómo esta conexión el mapa de una sección dada de $F^*\mathcal{O}_{\mathbb{P}^{1}_{k}}(n)$? Me gustaría ver algunos ejemplos concretos de este tipo de cálculos. Gracias!

Answer 1

No he pensado concretamente acerca de cómo esta conexión debe buscar en tu ejemplo, aunque creo que es el único que se caracteriza en las secciones locales por la afirmación de que aniquila las secciones de $F^*L$ (para la línea bundle $L$) que se tiró hacia atrás de las secciones locales de $L$. Este es un ejemplo de descenso - la conexión se expresa la estructura de un vector paquete que se heredan por insertándose en $F$, es decir, las secciones de que "se han descenso de datos" son aquellos que son ellos mismos se retiró. Intuitivamente se debe pensar en tirar de un vector paquete de $V$ bajo una forma más geométrica mapa de $f$ - el pullback tiene la estructura que las fibras de $V_x$ $V_y$ se identifican siempre $f(x) = f(y)$, y las secciones que se conservan por esta identificación son las mismas que las secciones de la planta baja. Frobenius es un divertido mapa de pensar geométricamente, en este caso, este descenso de datos se convierte en algo puramente infinitesimal, es decir, una conexión, algo que no tiene mucho de un análogo directo en característica cero. Esta historia se desarrolla en Berthelot textos "$\mathscr{D}$-módulos arithmétiques" aquí y aquí, bajo el nombre de Cartier descenso, pero no sé donde hay mucho exposición (es un breve resumen en el documento "Cúspides y $\mathscr{D}$-módulos de" Ben-Zvi y Nevins aquí).

Berthelot, Pierre. $\mathscr{D}$-módulos arithmétiques. I. Opérateurs différentiels de niveau fini. (En francés) [Aritmética $\mathscr{D}$-módulos. I. los operadores Diferenciales de nivel finito] Ann. Sci. École Norma. Sup. (4) 29 (1996), no. 2, 185-272.

Berthelot, Pierre. $\mathscr{D}$-módulos arithmétiques. II. Descente par Frobenius. (En Francés) [Aritmética