Transformación galileana de la ecuación de onda

Question

Tengo esta ecuación de onda general:

$$\begin{equation} \dfrac{\partial^2 \psi}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2 \psi}{\partial y^2}-\dfrac{1}{c^2}\dfrac{\partial^2 \psi}{\partial t^2}=0 \end{equation}$$

Y la siguiente transformación : $t'=t$ ; $x'=x-Vt$ y $y'=y$

La solución a esto tiene que ser : $$\dfrac{\partial^2 \psi}{\partial x'^2}\left( 1-\frac{V^2}{c^2}\right)+\dfrac{\partial^2 \psi}{\partial y'^2}+\dfrac{2V}{c^2}\dfrac{\partial^2 \psi}{\partial x' \partial t'^2}-\dfrac{1}{c^2}\dfrac{\partial^2 \psi}{\partial t^{'2}}=0$$

Esto demuestra que la velocidad de la onda depende de la dirección en la que se mire. ¿No sé cómo llegar a esto? Si lo sustituyes en la ecuación obtienes $x'+Vt$ en la derivada parcial. ¿Hay alguna otra forma de hacerlo, o qué regla tengo que utilizar para resolverlo? Estaba pensando en la regla de la cadena o algo así, pero ¿cómo la aplico en las derivadas parciales?

Answer 1

Primero hay que reescribir las antiguas derivadas parciales en términos de las nuevas. A priori, son unas combinaciones lineales con coeficientes que podrían depender de las coordenadas espaciotemporales en general, pero aquí no dependen porque la transformación es lineal. Las reglas $$t'=t, \quad x'=x-Vt,\quad y'=y$$ se traduce en $$\frac{\partial}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial t'} - V \frac{\partial}{\partial x'}$$ $$\frac{\partial}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x'}$$ $$\frac{\partial}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y'}$$ Si escribes los coeficientes delante de las derivadas primadas del lado derecho como una matriz, es la misma matriz que la matriz original de derivadas $\partial x'_i/\partial x_j$ . Si no quieres trabajar con matrices, basta con verificar que todas las expresiones del tipo $\partial x/\partial t$ son lo que deberían ser si se reescriben estas derivadas utilizando las tres ecuaciones mostradas y si se utilizan las derivadas parciales obvias $\partial y'/\partial t'$ etc.

Si simplemente reescribes las (segundas) derivadas con respecto a las coordenadas no imprimadas en términos de las (segundas) derivadas con respecto a las coordenadas imprimadas, obtendrás tu segunda forma transformada galileana de la ecuación. He comprobado que funciona, hasta el posible error en el signo de $V$ que sólo afecta al signo del término con la mezcla $xt$ segunda derivada.

Supongo que si esta explicación no es suficiente, deberías volver a plantear esta pregunta en el foro de matemáticas.

Answer 2

Regla de transformación de las derivadas parciales:

$$\frac{\partial}{\partial x_{\mu}} = \sum_{\nu} \frac{\partial x'_{\nu}}{\partial x_\mu} \frac{\partial}{\partial x'_{\nu}}$$