Henkin frente a "Full" Semántica de Segundo orden de la Lógica y de la Multi-Ordenados de Primer Orden Interpretaciones

Question

En este artículo de Jeff Ketland, señala:

Con la semántica de Henkin, la Integridad, la Compacidad y Löwenheim-Skolem Teoremas de todos, porque Henkin estructuras pueden ser re-interpretada como muchos ordenados de primer orden de las estructuras.

Cuál es acerca de la semántica completa de segundo orden de la lógica que desafía a la re-interpretación en uno de los muchos ordenados por la lógica de primer orden?

Answer 1

Semántica completa difieren de la semántica de Henkin En sólo uno pertinentes manera: en lugar de considerar arbitraria Henkin estructuras, semántica completa solo considera el total de las estructuras. Que muestra inmediatamente por qué, por ejemplo, el teorema de completitud falla por completo semántica:

• Integridad: Una fórmula es comprobable en la lógica de segundo orden si y sólo si la fórmula tiene en todas las estructuras de Henkin

• No todos los Henkin estructura es una estructura completa, y hay fórmulas verdadera en toda la estructura completa pero no todos los Henkin estructura

Desde su punto de vista, es realmente muy sencillo.

Answer 2

Muchos ordenados por la lógica de primer orden no coloque ningún interna, la lógica, la exigencia de que la relación de los dominios de los diferentes tipos. En particular, entonces, una de dos, ordenados lógica, con un tipo corriendo sobre "objetos" y de otro tipo se ejecuta sobre "propiedades", no pone ninguna lógica particular el requisito de la relación de los dominios. No requiere, por ejemplo, que si hay $\kappa$ objetos, entonces no se $2^{\kappa}$ propiedades. Por el contrario, la semántica completa de segundo orden de la lógica no necesita de esto, por lo que requiere que el de segundo orden de los cuantificadores se ejecuta sobre propiedades (pensamiento de extensionally) hacer ejecutar en todo el powerset del dominio de primer orden cuantificadores-de hecho, eso es lo que hace que sea "completo"!