¿Es lo siguiente equivalente al axioma de elección?
Sea $A = \{a_i: i \in I\}$ sea una colección de conjuntos no vacíos disjuntos por pares indexados por $I$ . Del mismo modo, dejemos que $B = \{b_i : i \in I \}$ . Supongamos además que para cada $i \in I$ , $|a_i| = |b_i|$ . Entonces $|\bigcup A| = |\bigcup B|$
Me interesa esta pregunta porque la proposición parece una de las formas más intuitivamente obvias de enunciar el axioma de elección, ¡pero me estoy atascando a la hora de demostrar que realmente lo es!
Es fácil ver que el axioma de elección implica la proposición. El argumento consiste esencialmente en elegir una biyección entre $a_i$ y $b_i$ para cada elemento $i \in I$ y combinarlos para formar una biyección. Al tratar de demostrar la implicación inversa, estoy atascado en el hecho de que podríamos tener una biyección entre $\bigcup A$ y $\bigcup B$ que mezcla los conjuntos de partición.
También he oído hablar de Russell Cardenales, y que es es coherente con $ZF$ suponer que existe una unión contable de conjuntos contables que es a su vez incontable.
