Asintótica expresión de una oscilación integral

Question

Considere la integral $$ f(\alpha,\beta)= \int_0^{2\pi}\,dx \sqrt{1- \cos(\alpha x ) \cos(\beta x)}$$ como una función de los dos parámetros de $\alpha,\beta$. Estoy interesado en el comportamiento asintótico para $\alpha, \beta \gg 1$.

Por $\alpha = \beta$ la integral puede evaluarse de forma explícita con el resultado $$ f(\alpha , \alpha) = \frac{2}{\alpha} \left[ \lfloor 2 \alpha\rfloor + \sin^2 \left(\frac\pi2 \{ 2 \alpha \} \right) \right]$$ con $\{ x \} = x - \lfloor x \rfloor$. Para grandes $\alpha$ la función $f(\alpha, \alpha)$ mus enfoques $4$.

Si vemos lo que sucede si tenemos $\beta$ grande pero fijos y varían de $\alpha$, vemos que $\beta \approx \alpha$ $f(\alpha,\beta) \aprox 4$ se parece a un mínimo de la función y se aproxima rápidamente de $2\pi$ (al menos para $\alpha$ grande) por $\beta$ lo suficientemente diferentes de $\alpha$. Sin embargo, hay oscilaciones en la parte superior de la media con valor de $2\pi$. En la figura se ve una evaluación numérica de la integral por $\beta=20$ y $\alpha$ entre 0 y 40.

• Es el valor de $f(\alpha,\beta)$ para $\alpha,\beta \gg 1$ y $\alpha \neq \beta$ en efecto $2\pi$?
• Por qué el valor de $f=4$ para $\alpha \approx \beta$ es menor que el valor genérico de $2\pi$ (de $\alpha$, $\beta$ grande)?
• ¿Cuál es el periodo de la (rápida) oscilaciones en función de $\alpha$ $\beta$ fijos que son visibles en la trama?
• ¿Cuál es la forma de la envolvente? (es un pico de la función -> Lorenz, o de Gauss, o ...?)
• ¿Alguien sabe cómo obtener una buena expresión asintótica para $f(\alpha, \beta)$?

Answer 1

Conjunto $\alpha\beta = r$ y $\alpha+\beta =s$. Así que nuestra integral es $$f(r,s) := \int_0^{2 \pi} \sqrt{1-(\cos (rx) + \cos (sx))/2} dx.$$ Parece, por $r$ constante y $s$ grande, una buena aproximación es simplemente ignorar la $s$ plazo. Conjunto $$g(r) := \int_0^{2 \pi} \sqrt{1-\cos (rx)/2} dx.$$ La siguiente figura muestra $f$ (en rojo) y $g$ (en azul) para $s=40$.

Una mejor aproximación parece ser el uso de $3 dólares términos de la serie de Taylor para la raíz cuadrada: $$\sqrt{1-\cos(rx)/2 - \cos(sx)/2} \approx$$ $$ \left(1-\cos(rx)\right)^{1/2} - \frac{\cos{sx}}{4} \left(1-\cos(rx)\right)^{-1/2} - \frac{\cos^2{sx}}{32} \left(1-\cos(rx)\right)^{-3/2}=$$ $$\left(1-\cos(rx)\right)^{1/2} - \frac{1}{64} \left(1-\cos(rx)\right)^{-3/2} + \cos(sx) (\mbox{algo}) + \cos(2x)(\mbox{algo}).$$ Aquí he reemplazado $\cos^2(sx)$ $(\cos(2sx)+1)/2$.

Así $$f(r,s) \approx \int_0^{2 \pi} \left( \left(1-\cos(rx)\right)^{1/2} - \frac{1}{64} \left(1-\cos(rx)\right)^{-3/2} \right) dx +$$ $$\int_0^{2 \pi} \cos(sx) (\mbox{algo}) dx + \int_0^{2 \pi} \cos(2sx) (\mbox{algo}) dx.$$ Los dos términos por debajo de la línea de rotura se pondrá a cero como $s \to \infty$, por la de Riemann-Lebesgue lema. (Como regla general del pulgar, en cualquier momento que usted tiene una muy oscilatoria integral, intente utilizar de Riemann-Lebesgue.)

Conjunto $$h(r) := \int_0^{2 \pi} \left( \left(1-\cos(rx)\right)^{1/2} - \frac{1}{64} \left(1-\cos(rx)\right)^{-3/2} \right) dx.$$ Aquí está el por encima de parcela con $h$ añadido (en verde)

Aquí está una parcela de $f(i,40)-h(r)$ (nota el pequeño rango vertical). Yo no confiar en estos datos demasiado -- el jaggedness es a menudo una señal de que estamos cerca de Mathematica numérico de la tolerancia:

Tengo la sospecha de que uno debe ser capaz de mostrar que existe una función $F(y)$ tal que $$\lim_{s \to \infty} f(r,s) = \int_{0}^{2 \pi} F(1-\cos(rx)/2) dx,$$ dada por una convergente de alimentación de la serie que se inicia $F(y) = y^{1/2} - y^{-3/2}/64+\cdots$.

Answer 2

Greg ya ha indicado en un comentario de por qué el valor de $\alpha=\beta$ es menor. En este caso, las fases de los dos cosenos correlación máxima y su producto es no negativo; de hecho, el integrando se simplifica a $|\sin\alpha x|$ en este caso. Por $\alpha,\beta,|\alpha\beta|\gg1$, por otro lado, las fases de los cosenos son aproximadamente correlacionadas (de hecho, para inconmensurables $\alpha,\beta$ venían arbitrariamente cerca de cada par de fases si ampliamos la integral hasta el infinito). No creo que el valor asintótico es de $2\pi$; debe ser de $2\pi$ veces más que el promedio de $\sqrt{1-\cos x\cos y}$ con respecto a los períodos de $x$ y $y$. Esto es, aproximadamente $6.01987$, lo que parece estar de acuerdo con su imagen.

En cuanto a la frecuencia de las oscilaciones, parece que es simplemente $1$, lo que tendría sentido, ya que le agregamos un período completo de $\cos\alpha$ x cuando se aumenta de $\alpha$ $1$. El integrando puede ser escrito como $\sqrt{1-(\cos(\alpha+\beta)x+\cos(\alpha\beta)x)/2}$, y los dos de estos cosenos están en su máximo en $2\pi$ cuando $\alpha$ es un número entero (porque han elegido el $\beta$ como un número entero). Sobre esa base, supongo que por la forma de la envolvente sería de $I\pm c/|\alpha\beta|$, donde $I$ es el valor promedio de y $c$ constantes.

Answer 3

Echemos un vistazo a algunos casos especiales:

1. b constante, $\rightarrow\infty$: El límite es de aproximadamente $6.01987$. Como $un$ se hace más grande, el número de las diferentes fases entre los dos cosenos aumenta de modo que se acerca al promedio de $\sqrt{1-\cos(x)\cos(y)}$.

2. $a=b\rightarrow\infty$: ya concluyó correctamente que esto converge a 4.

3. (esto es casi visible en su parcela - si se tratara de una resolución más alta) $a=n\cdot b$ con $b\rightarrow\infty$ y $n \in \mathbb{N}$. Estos tienen valores únicos que difieren de $6.01987...$.

   Por ejemplo. $n=2$ converge a $f(a,2a)=\frac{4\sqrt{10}}{3}\approx 4.22$

   $n=3$ converge a $f(a,3a)=2\sqrt{5}+\text{ArSinh}(2)\aprox 5.91577$

A mí me parece, que es el camino correcto para ir a $\infty$ es por la fijación de una relación de $a/b=:r$. Una vez que esta relación se establece, cualquier aumento en la una (y por lo tanto b) puede ser descuidado después de alcanzar el mínimo común múltiplo (si esta LCM es $c$ claramente $f(c,rc)=f(2c,2rc)=f(3c,3rc)=\dots$ ). Estos números tienen un límite finito valor de $\neq 6.0198...$ .

Cualquiera de los dos números con $\text{LCM}(a,b)=\infty\,\Leftrightarrow\r\noen\mathbb{Q}$ convergen la mencionada $6.01987...$ por el mismo argumento. Para ver esto permite definir una nueva función $$ f'(a,b,\phi) = \int_0^{2\pi}\!\!\!\!\!\sqrt{1-\cos(x+\phi)\cos(b, x)}\,\text{d}x $$ $$ \Rightarrow f'(a+1,r(a+1),\phi) = \frac{a} {+1}f'(a,ra,\phi) + \frac{1} {+1}f'(1,r,\phi'(\phi,r,a))$$ para el montaje de $\phi'$. La serie de todos los $\phi\phi',\phi",\dots$ repeticiones para $i\in\mathbb{Q}$ después $de c$ términos, por lo que el límite es igual a la media de estos $c$ (diferentes) de las integrales en un período de $\cos(x)$. El más grande de la LCM es, más nos acercamos a la media real de $6.01987...$, especialmente para $r\noen\mathbb{Q}$ el límite es idéntica a la de este número.

Nota al margen: El límite de la necesidad de no depender continuamente en $/b$ aunque $f(a,b)$ es continua en ambos argumentos.