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Hartshorne la Proposición II.6.5

La declaración de la parte (a) de esta proposición es la siguiente:

Deje $X$ ser un noetherian integral separados esquema de lo que es habitual en codimension 1. Deje $Z$ ser un adecuado subconjunto cerrado de $X$, y deje $U=X\setminus Z$. Entonces hay una surjective homomorphism $\mathrm{Cl}(X)\to\mathrm{Cl}(U)$ definido por $\sum n_i Y_i\mapsto\sum n_i(Y_i\cap U)$, ignorando vacío intersecciones.

Ahora, esto parece que debería ser claramente evidente, y la prueba de ello en el libro más o menos lo trata como tal. Estoy teniendo problemas con la primera línea:

Si $Y$ es un divisor primo en $X$, $Y\cap U$ está vacío o un divisor primo en $U$.

Claramente el ex posibilidad es trivial. Por alguna razón, estoy teniendo problemas con el último. Un divisor primo se define a ser un cerrado integral subscheme de codimension uno. Ahora, obviamente $Y\cap U$ es cerrado en $U$. Pero a referirse a ella como un circuito cerrado subscheme, no necesito saber lo que el subscheme estructura es? Anteriormente se refieren a la inducida por la reducción cerrada subscheme estructura; supongo que voy a asumir que esto es lo que significan, pero no estoy 100% seguro (aunque no sé qué otra cosa tiene sentido).

Pasando esto por ahora, necesito saber que $Y\cap U$ es integral en $U$ y $\mathrm{codim}(Y\cap U,U)=1$. A lo mejor me estoy confundiendo yo aquí; desde $Y$ es integral (es un divisor primo en $X$) y $Y\cap U$ está abierto en $Y$, sabemos $Y\cap U$ es integral como subscheme de $Y$; es decir, $(Y\cap U, \mathcal{O}_Y|_{Y\cap U})$ es un esquema integral. Pero es lo mismo como el cerrado subscheme estructura de $Y\cap U\subseteq U$? Qué importa siquiera?

Finalmente, el codimension; $\mathrm{codim}(Y,X)=1$ significa que no hay irreductible cerrado subconjuntos de a $X$ estrictamente entre el $Y$ $X$ (ambos son parte integral, por lo tanto irreductible a sí mismos). Creo que puedo ver por lo menos por qué esto es cierto. Suponiendo que conocemos $Y\cap U$ es una integral (de ahí irreductible) cerrado subscheme de $U$, su codimension es uno o es igual a $U$. Pero el último obligaría a $U\subseteq Y$, lo cual haría de $X=Y\cup Z$ no irreductible, lo cual es una contradicción.

Me gustaría ayudarme se lo agradeceria mucho si alguien pudiera me apunte en la dirección correcta aquí estoy camino overthinking esto? O realmente hay algunas sutilezas que no estoy viendo?

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Uberfuzzy Puntos 2492

Sea X un esquema integral, Y un cerrado integral subscheme de codimension 1, y U un abierto no vacío subscheme. Con la topología inducida por la de la U, $Y \cap U \subset U$ está cerrada, y con la reducción de la subscheme estructura inducida de la U, se convierte en un reducido subscheme de U. Con la topología inducida a partir de Y, $Y \cap U \subset Y$ es irreductible, como un abierto no vacío subconjunto de un espacio irreductible. Puesto que Y y U inducir el mismo topologías en $Y \cap U$, uno ve que como un esquema de $Y \cap U$ es integral (reducido y irreductible).

Ahora $\mathrm{codim}(Y \cap U, U) = \mathrm{codim}(Y, X) = 1$ se deduce del hecho de que hay un bijection $Z \mapsto \overline{Z}$ a partir del conjunto de cerrados irreducibles de los subespacios de U para el conjunto de cerrados irreducibles de los subespacios de X de intersección de U, que de hecho los mapas irreductible componentes irreducibles de los componentes. (Ver (EGA, 0_IV, 14.2.3).)

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