La suma de los registros de

Question

¿Hay algún útil identidades para rápidamente calcular la suma de consecutivos de registros? Por ejemplo, $\sum_{k=1}^{N} log(k)$ o algo para este efecto. Debo añadir que estoy escribiendo código para hacer esto (como opuesto a hacerlo en una calculadora) para N puede ser muy grande.

Answer 1

Para un gran$N$, $N!\approx N^Ne^{-N}\sqrt {2\pi N}$ (fórmula de Stirling) y, por tanto, $$\sum_{k=1}^N\ln k\approx\left( N+\frac12\right)\ln N-N+\frac12\ln(2\pi).$$

Answer 2

El de Euler-Maclaurin Fórmula de la Suma, también puede ser utilizado para obtener un asintótica de expansión. Da $$ \sum_{k=1}^n\log(k)=\overbrace{\vphantom{\frac12}C}^{\frac12\log(2\pi)}+\overbrace{\vphantom{\frac12}n\log(n)-n}^{\int f(n)\,\mathrm{d}n}+\overbrace{\frac12\log(n)}^{\frac12f(n)}+\overbrace{\frac1{12n}}^{\frac1{12}f'(n)}-\overbrace{\frac1{360n^3}}^{\frac1{720}f"'(n)}+\dots $$ La constante $\frac12\log(2\pi)$ se deriva como en la prueba de la Fórmula de Stirling.

Answer 3

Sugerencia:

Utilice el hecho de que $\log(a)+\log(b)=\log(ab)$

Su expresión se convierte simplemente en $\sum_1^N \log k=\log(N!)$, y ahora usted puede tener Stirling Aproximación a la aproximación de $N!$

Answer 4

En el caso particular de $$ \sum_{k=1}^N\log k=\log N!=\log\Gamma(N+1) $$ esto es sólo el loggama función, la cual es implementada en muchos sistemas de software. Este es rápida y precisa.

Por ejemplo, lngamma en GP, lgamma en C (de matemáticas.h) LogGamma en Mathematica, lnGAMMA en madera de Arce, LogGamma en Magma, gammaln en MatLab, lnGamma en Mathcad, log_gamma en Sage, math.lgamma en Python, gammaln en Perl (Math::SpecFun::Gamma).