¿Cómo se integra $\int \frac{1}{a + \cos x} dx$?

Question

¿Cómo se integra $\int \frac{1}{a + \cos x} dx$? Es solucionable por métodos de primaria? Yo estaba tratando de hacerlo mientras incorrectamente la resolución de una tarea problema, pero no pude encontrar la respuesta.

Gracias!

Answer 1

Esto no ayudará a evaluar la integral indefinida, pero yo, sin embargo, me gustaría añadir que la integral definida de $\int_0^{2 \pi } \frac{1} {+ \cos x} \ dx$ can also be evaluated using methods from complex analysis. Let us make the simplifying assumption that $ > 1$ to avoid a blow up in the integral. Other values of $$ (incluidos los más complejos!) puede que tenga que trabajar demasiado.

Tenemos \begin{align*} \int_0^{2 \pi } \frac{dx}{a + \cos x} &= \int_0^{2 \pi} \frac{dx}{a + \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}} \\ &= 2\int_0^{2 \pi} \frac{e^{ix} \ dx}{2ae^{ix} + e^{2ix} + 1} && \text{Let } z=e^{ix}, \text{ so } dz = ie^{ix} \ dx. \\ &= \frac{2}{i} \int_{|z|=1} \frac{dz}{z^2 + 2az + 1} \\ &= \frac{2}{i} \int_{|z|=1} \frac{dz}{(z-z_1)(z-z_2)} \end{align*} donde el círculo $|z|=1$ es parametrizado a la izquierda y \begin{align*} z_1 = -a - \sqrt{a^2-1} && z_2 = -a + \sqrt{a^2-1}. \end{align*} Claramente $z_1 < -a < -1$, lo $z_1$ está fuera del círculo unidad. Como para $z_2$, es conveniente notar que \begin{align*} z_1 z_2 = 1. \end{align*} Así, desde la $z_1$ está fuera del círculo unidad, su inverso $z_2$ está dentro del círculo unidad. Así que, aplicando el teorema de los residuos, hemos

\begin{align*} \frac{2}{i} \int_{|z|=1} \frac{dz}{(z-z_1)(z-z_2)} &= \frac{2}{i} \ 2 \pi i \ \mathrm{Res}\left( \frac{1}{(z-z_1)(z-z_2)}, z_2\right) \\ &= 4 \pi \frac{1}{z_2 - z_1} \\ &= 4 \pi \frac{1}{2 \sqrt{a^2 -1}} \\ &= \frac{2 \pi}{\sqrt{a^2-1}}. \end{align*}

Uno puede comprobar este resultado en contra de la obtenida a partir de Arybatha la antiderivada, aunque un poco de cuidado necesita ser tomado como una integral impropia de los cultivos de arriba, mientras que hacer varias sustituciones. \begin{align*} \int_0^{2 \pi } \frac{dx}{a + \cos x} &= \int_0^\pi \frac{2 \ dy}{a+1 + (a-1) \tan^2(y)} && y= \frac{x}{2}\\ &= \int_0^\infty \frac{ 2 dt}{ a + 1 + (a-1)t^2} +\int_{-\infty}^0 \frac{ 2 dt}{ a + 1 + (a-1)t^2} && t = \tan(y) \\ &= \frac{2}{\sqrt{a^2-1}} \arctan\left( \sqrt{ \frac{a-1}{a+1}} t \right) \big|_0^\infty + \frac{2}{\sqrt{a^2-1}} \arctan\left( \sqrt{ \frac{a-1}{a+1}} t \right) \big|_{-\infty}^0 \\ &= \frac{2 \pi}{\sqrt{a^2-1}} \end{align*}

Answer 2

Deje $ y = \frac{x}{2}$.

$$\frac{1}{a + \cos 2y} = \frac{1}{a -1 + 2\cos ^2 y} = \frac{\sec^2 y}{(a-1)\sec^2 y + 2} = \frac{\sec^2 y}{a + 1 + (a-1)\tan^2 y} $$

Así

$$\int \frac{1}{a + \cos x} \text{d}x = \int \frac{2}{a + \cos 2y} \text{d}y $$

$$ = \int \frac{ 2\sec^2 y}{ a + 1 + (a-1)\tan^2 y} \text{d} y$$

Ahora hacer la subsitution $t = \tan y$.

Yo recuerdo haber usado el mismo truco antes: Sumar la serie $ \frac{1}{2n+1} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2n+3} + \cdots \ \text{ad inf}$

Answer 3

Generalización:

Consideremos $\cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}; t = \tan\frac{x}{2}; dx=\frac{2}{1+t^2} dt.$ Entonces conseguimos que nuestros integral se convierte en:

$$J = \int \frac{2dt}{(a+b)+(a-b) t^2}$$

I. Para el caso de $a>b$, considere la posibilidad de $a+b=u^2$$a-b=v^2$, y obtener que: $$J = 2\int \frac{dt}{u^2+v^2 t^2}=\frac{2}{uv} \arctan\frac{vt}{u} +C.$$ Volviendo a nuestra notación, se obtiene: $$I=\frac{2}{\sqrt{a^2-b^2}} \arctan\left(\sqrt{\frac{a-b}{a+b}} \tan\frac{x}{2} \right) + C.$$

II. Para el caso de $a<b$, considere la posibilidad de $a+b=u^2$$a-b=-v^2$, y obtener que: $$J = 2\int \frac{dt}{u^2-v^2 t^2}=\frac{1}{uv}\ln\frac{u+vt}{u-vt} \ +C.$$

Volviendo de nuevo a cabo inicial de la notación y tiene que:

$$I=\frac{2}{\sqrt{b^2-a^2}} \ln\frac{b+a \cos x + \sqrt{b^2-a^2} \sin x}{a+b \cos x} + C.$$ También, tenga en cuenta que $x$ debe ser diferente de ${+}/{-}\arccos(-\frac{a}{b})+2k\pi$ si $|\frac{a}{b}|\leq1$.

Q. E. D.

Answer 4

La expansión de André comentario

Digamos que tenemos una integral de la forma

$$\int R(\sin x,\cos x) dx$$

A continuación, la sustitución de

$$t= \tan\frac x 2 $$

va a cambiar la integral en una función racional de

$$\sin x = \frac{2t}{1+t^2}$$

$$\cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$$

y, por supuesto,

$$dx = \frac{2 dt}{1+t^2}$$

Te gustaría intentar resolver de esa manera o quieren una completa solución?