Función de densidad de probabilidad de un producto de variables aleatorias uniformes

Question

Deje $z = xy$ ser un producto de dos uniforme de variables aleatorias, con $x$ tener el rango de $[a, b)$ $y$ el rango de $[c, d)$.

¿Cuál es la función de densidad de probabilidad de $z$, y cómo se calcula?

Answer 1

Existen diferentes soluciones dependiendo de si $a > 0$ o $a < 0$, $c > 0$ o $c < 0$ etc. Si usted puede atar un poco más, yo estaría feliz para calcular un caso especial para usted.

En el caso de: $a > 0$$c > 0$, hay tres sub-casos:

• Caso 1: $a d > b c$

• Caso 2: $a d < b c$

• Caso 3: $a d = b c$

Aquí está la salida para el Caso 1 el uso de la mathStatica/Mathematica combo ...

Caso 1: $a > 0$, $c > 0$, $a d > b c$

Dado $X \sim Uniform(a,b)$ con pdf $f(x)$, e $Y \sim Uniform(c,d)$ con pdf $g(y)$ y los parámetros de $a>0$$c>0$, tenemos:

f = 1/(b-a);    domain[f] = {x, a, b} && {0 < a < b, a d > b c};
g = 1/(d-c);    domain[g] = {y, c, d} && {0 < c < d};

Encontrar el pdf del producto $Z = X * Y$, decir $h(z)$:

h = TransformProduct[{f, g}, z]

con el dominio de apoyo (sólo definen en el real de la línea):

domain[h] = {z, -∞, ∞};

Aquí está una parcela de la pdf para el Caso 1:

PlotDensity[h /. {a -> 2, b -> 4, c -> 1/2, d -> {6, 7, 8}}]

actualización de ...

Caso 3: $a > 0$, $c > 0$, $a d == b c$

Caso 3 en realidad es sólo un caso especial del caso 1 ...

Dado $X \sim Uniform(a,b)$ con pdf $f(x)$, e $Y \sim Uniform(c,d)$ con pdf $g(y)$, y los parámetros de $a>0$$c>0$, tenemos:

f = 1/(b-a);    domain[f] = {x, a, b} && {0 < a < b, a d == b c};
g = 1/(d-c);    domain[g] = {y, c, d} && {0 < c < d};

Encontrar el pdf del producto $Z = X * Y$, decir $h(z)$:

h = TransformProduct[{f, g}, z]

con el dominio de apoyo (sólo definen en el real de la línea):

domain[h] = {z, -∞, ∞};

Aquí está una parcela de la pdf para el Caso 3, para su puesta en marcha,$a = c$, e $b = d$:

PlotDensity[h /. {a -> Range[5], b -> 12, c -> Range[5], d -> 12}]

... y ya está todo hecho :) yo podría actualizar la mathStatica código automáticamente la salida de todos los casos especiales ... para la próxima versión :)

Answer 2

La fórmula general para el pdf del producto $Z=XY$ de dos variables aleatorias $X$ $Y$ está dado por

$$p_{Z}(z)= \int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{|x|}p_{XY}\left (x,\frac{z}{x}\right )\;dx$$

donde $p_{XY}(x,y)$ es la distribución conjunta de dos variables aleatorias. Si son independientes puede utilizar $p_{XY}(x,y)=p_X(x)p_Y(y)$.