Es este conjunto correspondiente a un almacén lineal operador necesariamente abierta?

Question

Deje $\Lambda : X \to X$ ser un delimitada operador lineal sobre un espacio de Banach $X$. Mi pregunta es si el conjunto de $$ \{\lambda \in \mathbb C: \lambda I - \Lambda \quad\text{es surjective} \} $$ es necesariamente abierta. El anterior conjunto es similar a la resolvent conjunto de $\Lambda$, que se define como el conjunto de todos los $\lambda \in \mathbb C$ tal que $\lambda I - \Lambda$ es invertible; sé que la resolvent conjunto está siempre abierta. Sin embargo, lo que sobre el conjunto de arriba?

Para referencia, fue un problema en un pasado en el examen de calificación (véase el problema 6) para demostrar que el conjunto es, de hecho, abierto. No estoy seguro de si se quiere indicar el resolvent conjunto, o si el problema es correcta como se indica.

Answer 1

Deje $\lambda$ tal que $T := \lambda - \Lambda$ es surjective. Entonces $\bar T: X/\ker T \to X/\ker T$, $\bar T(x + \ker T) = Tx + \ker T$ es invertible, por lo tanto, hay algunos $\varepsilon > 0$ tal que $\bar T + \mu$ es invertible para $|\mu| < \varepsilon$.

Deje $0 < |\mu| < \varepsilon$$y \in X$. A continuación, hay algunos $x \in X$ tal que $(\bar T + \mu)(x + \ker T) = y + \ker T$, lo que significa que $Tx + \mu x + \ker T = y + \ker T$. Así que hay algo de $z \in X$$Tz = 0$$Tx + \mu x + z = y$. Entonces \begin{align*} (T + \mu)\left(x + \frac 1\mu z\right) &= Tx + \mu x + z\\ &= y. \end{align*} Como $y$ fue arbitraria, $T + \mu$ es surjective y el conjunto en cuestión está abierta.

AB,