Paridad en las matrices gamma

Question

Quiero entender claramente por qué $ P \gamma^{\mu} P = \gamma^{\mu} $ , donde $ P $ es el operador de paridad.

Este resultado se desprende, por ejemplo, de la página 66 de Peskin-Schroeder. El operador de paridad actúa sobre los campos de Dirac de esta manera: $ P \psi (t, \textbf{x}) P = \gamma^0 \psi (t, -\textbf{x}) $ suponiendo que no hay otros factores de fase. En la bilineal de Dirac $ \bar{\psi} \gamma^{\mu} \psi (t, \textbf{x}) $ utilizando el hecho de que $ P^2=1 $ , usted tiene $P \bar{\psi} \gamma^{\mu} \psi (t, \textbf{x})P = P \bar{\psi} P P \gamma^{\mu} P P \psi (t, \textbf{x}) P = \bar{\psi}\gamma^0 P \gamma^{\mu} P \gamma^0 \psi (t,- \textbf{x}) = \bar{\psi}\gamma^0 \gamma^{\mu} \gamma^0 \psi (t,- \textbf{x}) = (-1)^{\mu}\bar{\psi} \gamma^{\mu} \psi (t, -\textbf{x}) $

Con $(-1)^{\mu} =1 $ si $ \mu=0 $ y $(-1)^{\mu} =-1 $ si $ \mu=1,2,3 $ . Así que $ P \gamma^{\mu} P = \gamma^{\mu} $ sigue porque $ P$ y $\gamma^{\mu} $ ¿actuar en diferentes espacios? ¿O hay otras explicaciones? (Por favor, haz todos los pasos de la respuesta)

Para que quede claro: utilizo $ \gamma^0= \bigl(\begin{smallmatrix} 0&1\\ 1&0 \end{smallmatrix} \bigr)$ y $ \gamma^{i}= \bigl(\begin{smallmatrix} 0&\sigma^i\\ -\sigma^i&0 \end{smallmatrix} \bigr)$ .

Answer 1

Una de las formas de obtener este resultado es la consecuencia trivial de que el operador de paridad debe cambiar el signo de los valores integrales del 3-momento y de la corriente, mientras que deja invariantes los valores completos de energía y carga. Por ejemplo, para la densidad de energía tenemos con $\Psi ' = \hat {P}\Psi$ ( $\hat {P} = \hat {U}P_{\mathbf x \to -\mathbf x}$ ) el siguiente resultado:

$$ E \to E' = \Psi{'}^{\dagger}(-\mathbf x, t) \left((\hat {\mathbf p} \cdot \hat {\alpha}) + \gamma_{0}m\right)\Psi{'}(-\mathbf x , t) = $$ $$ =\Psi^{\dagger}(\mathbf x , t)\hat {P}^{\dagger}\left((\hat {\mathbf p} \cdot\hat {\alpha} ) + \gamma_{0}m\right)\hat {P}\Psi(\mathbf x, t) = $$ $$ =\Psi^{\dagger}(\mathbf x , t)\left(-\left(\hat {\mathbf p} \cdot \hat {P}^{+}\hat {\alpha}\hat {P} \right) + \hat {P}^{\dagger}\gamma_{0}\hat {P}m\right)\Psi(\mathbf x, t) = $$ $$ =\Psi^{\dagger}(\mathbf x, t) \left((\hat {\mathbf p} \cdot\hat {\alpha} ) + \gamma_{0}m\right)\Psi(\mathbf x , t) \Rightarrow $$ $$ \hat {U}^{\dagger}\hat {\alpha}\hat {U} = -\hat {\alpha}, \quad \hat {U}^{\dagger}\gamma_{0}\hat {U} = \gamma_{0} \Rightarrow \hat {U}^{\dagger}\gamma^{\mu}\hat {U} = \gamma_{\mu}, \qquad (1) $$

por lo que su igualdad es posible sólo en una forma de $(1)$ ( $\hat{P}^{\dagger}$ coinciden formalmente con $\hat{P}$ ).

En la primera línea escribo la expresión de la densidad de energía tras la transformación de la función de estado ( $\Psi \to \Psi {'}$ ). En el segundo he utilizado las expresiones $\Psi{'} = \hat {P}\Psi , \Psi{'}^{+} = \Psi^{+}\hat {P}^{+}$ En la tercera me he movido $\hat {P}^{\dagger}$ derecho y $\hat {P}$ a la izquierda ( $\hat {P}^{\dagger}$ actúa sobre $\hat {\mathbf p}$ sólo cambiando su signo) y después he obtenido formas bilineales $\hat {P}^{+}\hat {\alpha}\hat {P}, \hat {P}^{+}\gamma_{0}\hat {P}$ . Finalmente, he equiparado este resultado a la energía sin inversión, porque la energía no cambia (por su significado físico) bajo inversión espacial y he obtenido $(2)$ igualando las expresiones correspondientes de la última línea y de la anterior: $-\left(\hat {\mathbf p} \cdot \hat {P}^{+}\hat {\alpha}\hat {P} \right)$ a $(\hat {\mathbf p} \cdot\hat {\alpha} )$ etc.

La última consecuencia se puede obtener de la siguiente manera: $$ \hat {U}^{\dagger}\gamma_{0}\hat {U} = \gamma_{0} \Rightarrow \hat {U}^{\dagger}\hat{\alpha}\hat {U} = \hat {U}^{\dagger}\gamma_{0}\mathbf {\gamma}\hat {U} = \gamma_{0}\hat {U}^{\dagger}\mathbf {\gamma}\hat {U} = -\gamma_{0} \gamma \Rightarrow $$ $$ \hat {U}^{\dagger}\gamma_{0}\hat {U} = \gamma_{0}, \quad \hat {U}^{\dagger}\gamma \hat {U} = -\gamma . $$