$f(x)=^tx^{-1}$ es un automorphism de GL$_n(\mathbb{R})$

Question

Esta es una pregunta de la libre universidad de Harvard en línea álgebra abstracta conferencias. Estoy publicando mis soluciones aquí para obtener algunos comentarios sobre ellos. Para una explicación más completa, vea este post.

Este problema se asigna en la 4ª conferencia.

Definir $f:GL_n(\mathbb{R}) → GL_n(\mathbb{R})$ $f(A)=^tA^{-1}$ (donde $^tA$ es la transpuesta de a $A$). Mostrar que $f$ es un automorphism, pero no un interior automorphism para n ≥ 1.

Deje $A,B\in GL_n(\mathbb{R})$. Entonces $f(AB)=^t(AB)^{-1}=(^tB^tA)^{-1}=^tA^{-1}\cdot^tB^{-1}=f(A)\cdot f(B)$. Por lo $f$ es un homomorphism. Para cualquier $A \in GL_n(\mathbb{R}), f(f(A))=f(^tA^{-1})=^t(^tA^{-1})^{-1}=A$. Por lo $f^{-1}=f$. Desde $f$ tiene una inversa para todos $A\in GL_n(\mathbb{R})$, $f$ es bijective. Por lo tanto, $f$ es un automorphism de $GL_n(\mathbb{R})$.

Suponga $f$ es un interior automorphism. Deje $A=\lambda I_n$. Desde $A$ está en el centro de la $GL_n(\mathbb{R})$, hay algunos $B \in GL_n(\mathbb{R})$ tal que $f(A)=BAB^{-1} = BB^{-1}A=A$. Pero $^tA^{-1}=\frac{1}{\lambda}I_n\neq A$$\lambda\neq1$. Por lo tanto, $f$ no es un interior automorphism.

De nuevo, doy la bienvenida a cualquier crítica de mi razonamiento y/o mi estilo, así como soluciones alternativas para el problema.

Gracias.

Answer 1

Las matemáticas todo se ve bien. Aquí están algunas de estilo críticas (tener en cuenta que el estilo de las críticas son algo subjetivo.)

1. Aunque el orden no importa, me eriza al ver el $t$ $-1$ a cada lado de una matriz sin una indicación de que está hecho primero. En las conferencias, presumiblemente este ejercicio aparece después de alguna discusión donde se ha demostrado que el orden es irrelevante, pero se divorció de este contexto, se ve un poco raro. (Aunque sólo sea porque la prueba de que el orden es indiferente, es tan similar a la prueba de que $f$ es multiplicativo--- ambos son cálculos algebraicos que implican un delicado equilibrio de la transposición y de invertir, y cómo estas operaciones por separado en el tratamiento de los productos).

2. Yo iba a escribir "por Lo $f$ es invertible, y en el hecho de $f^{-1} = f$" en lugar de "por Lo $f^{-1} = f$." (Principio General: si $f$ aún no ha sido explícitamente anunciado como invertible, no escribo $f^{-1}$.) Si usted no comprar ese principio general, aún diría: en esta etapa en el argumento, la existencia de la $f^{-1}$ ha sido establecido, y esto merece más aviso que el hecho de que $f^{-1} = f$, debido a que es la existencia de la inversa de la que realmente establece que $f$ es un automorphism, y no tanto el hecho concreto de que $f^{-1}$ pasa a ser $f$.

3. Dependiendo de cómo "automorphism" ha sido definida--- es posible que haya sido definido para ser un homomorphism que tiene una inversa en el sentido de que usted acaba de $f$ - - - puede que no sea necesario el desvío a través de bijectivity para llegar a el hecho de que $f$ es un automorphism. En cualquier caso, "Desde $f$ tiene una inversa para todos los $A \in \operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$" al menos debe ser reemplazado con sólo "Desde $f$ tiene una inversa", porque el "para todos los $A \in \operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$" no tiene sentido aquí. (El mapa de $f$ tiene una inversa o no; "tiene una inversa" no es una parametrización de la declaración que depende de una matriz de $A$.)

4. Me gustaría cambiar el orden de la discusión en el último párrafo un poco. El problema para mí es la distancia entre los planteamientos de los supuestos y de los que se utilizan. "Hay algunos $B \in \operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$ $f(A) = BAB^{-1}$" es donde la suposición de que $f$ es un interior automorphism está siendo utilizado, pero como está escrito, esta afirmación es introducido por la declaración "Desde $A$ está en el centro de la $\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$". Esto no explica por qué no es ese $B$, sino por qué el cálculo paso siguiente esa afirmación (es decir, la igualdad de $BAB^{-1} = BB^{-1}A$) es válida.

5. En "Let $A = \lambda I_n$" que son implícitamente introducir el número de $\lambda$, pero no diciendo al lector algo más acerca de él. Al terminar esta frase, un lector puede estar seguro de si (a) tiene la intención de elegir un determinado valor de $\lambda$ más tarde, o (b) usted tiene la intención de hacer algo por una arbitraria valor de $\lambda$, o (c) que ya han fijado un valor de $\lambda$ en algún lugar, y el lector accidentalmente saltaron.

   El punto (c) es la más importante a tener en cuenta en situaciones como esta \begin{equation} \frac{a}{b}+\frac{c}{c+t}\le\frac{a}{\left\lfloor \frac{ac}{t}\right\rfloor+a+1} + \frac{c}{c+t} < 1. \end si no cuando la escritura de ejercicios individuales de soluciones, no de forma matemática la escritura. Siempre que sea posible, cuando se introduce un nuevo símbolo, dejan claro que se están introduciendo, de manera que el lector no vuelva a escanear lo que acabo de leer en busca de algo perdido.

   Usted podría, por ejemplo, decir "Arreglar cualquier número distinto de cero $\lambda$ y considerar la posibilidad de $A = \lambda I_n$. A partir de la definición de $f$ tenemos $f(A) = \cdots = \lambda^{-1} I_n$, y, en particular, si elegimos $\lambda \neq \pm 1$ vemos que $f(A) \neq A$. Por otro lado, si $f$ fueron interior tendríamos [...] por Lo $f$ no es interior." [Tenga en cuenta que $\lambda^{-1} = \lambda$ mantiene para $\lambda = -1$ también; supongo que esto es un pequeño error de cálculo en el original.]

   Alternativamente, usted puede evitar el símbolo $\lambda$ totalmente y acaba de hacer el cálculo para un determinado valor de $\lambda$, por ejemplo,$2$. Aquí es donde las personas se dividen en dos campos. Algunos podrían decir que es malo es al azar introducir $2 I_n$ a la discusión sin ninguna indicación de que la opción "viene de", y que la discusión con el general $\lambda$, seguido por una especialización a $\lambda \neq \pm 1$ deja al lector con más comprensión. Otros dirían que el objetivo es sólo para mostrar con el ejemplo que $f$ no es interior, a continuación, complica las cosas para introducir un parámetro en la discusión cuando uno puede dar un solo ejemplo.