Fortalecer la desigualdad

Question

Es sabido que para enteros positivos $ a, b, c, d $ $n $ las desigualdades $ a + c <n $$ \frac ab + \frac cd <1 $. Demostrar que $$ \frac ab + \frac cd <1 - \frac {1} {n ^ 3} $$

Mi trabajo hasta el momento:

$ a, b, c, d, n -$ enteros positivos $\Rightarrow a+c \le n-1$ y $ad+bc \le bd-1.$

Answer 1

Para mayor comodidad, vamos a pensar que $a\le c$$t=d-c\in\mathbb{N}$.

1. No es difícil ver que si $\frac{a}{b}+\frac{c}{c+t}<1$ \begin{equation} \frac{a}{b}+\frac{c}{c+t}\le\frac{a}{\left\lfloor \frac{ac}{t}\right\rfloor+a+1} + \frac{c}{c+t} < 1. \end{equation}

2. Ahora, vamos a fijar sólo $a\le c$ y deje $t\ge1$ es variable. Podemos demostrar que la suma $$\frac{a}{\left\lfloor \frac{ac}{t}\right\rfloor+a+1}+\frac{c}{c+t}$$ tiene el máximo valor para $t=1$, o en otras palabras $$\frac{t}{c+t}-\frac{a}{\left\lfloor \frac{ac}{t}\right\rfloor+a+1}\geq\frac{1}{c+1}-\frac{a}{a(c+1)+1}=\frac{1}{(c+1)(a(c+1)+1)}.$$

2.un Deje $t\le c^2$. Nota, que $\left\lfloor \frac{ac}{t}\right\rfloor = \frac{ac}{t} - \frac{ac(\mathrm{mod\ }t)}{t}\ge \frac{ac}{t} - \frac{t-1}{t}$, por lo que $$\frac{t}{c+t}-\frac{a}{\left\lfloor \frac{ac}{t}\right\rfloor+a+1}\ge\frac{t}{c+t}-\frac{at}{a(t+c)+1} = \frac{t}{(c+t)(a(t+c)+1)},$$ y tenemos que demostrar que $$\frac{t}{(c+t)(a(t+c)+1)}\ge\frac{1}{(c+1)(a(c+1)+1)}$$ o $$(t-1)\left(t-\frac{ac^2+c}{a}\right)\le0$$ o $$t < c^2+\frac{c}{a}.$$ Caso 2.es un hecho.

2.b Ahora, vamos a $t \ge c^2+1$. Desde $a\le c$, $\left\lfloor\frac{ac}{t}\right\rfloor=0$, por lo tanto, tenemos que probar que $$\frac{t}{c+t}-\frac{a}{a+1}\geq\frac{1}{c+1}-\frac{a}{a(c+1)+1 }.$$ En vista de $t\ge c^2+1$, es suficiente para demostrar $$\frac{1}{1+a}-\frac{1}{1+c}\ge\frac{1}{1+c+\frac{1}{c}}-\frac{1}{1+c+\frac{1}{a}}.$$ Es fácil ver que para la función $f(x)=\frac1x$ la siguiente propiedad es true:

• Si $y\ge x>0$ a continuación, para todos $\delta > 0$ : $f(x)-f(x+\delta)\ge f(y)-f(y+\delta)$.

A partir de la última declaración y de $\frac{1}{c}+c-a\geq \frac{1}{a}$ podemos concluir $$\frac{1}{1+a}-\frac{1}{1+c}\ge\frac{1}{1+c+\frac{1}{c}}-\frac{1}{1+c+\frac{1}{c}+(c-a)}\ge \frac{1}{1+c+\frac{1}{c}}-\frac{1}{1+c+\frac{1}{a}}$$

Ahora 2. está hecho.

3. A partir del 1 de. y 2. : $$\frac{a}{b}+\frac{c}{c+t}\le \frac{a}{\left\lfloor\frac{ac}{t}\right\rfloor+a+1}+\frac{c}{c+t}\le \frac{a}{a(c+1)+1}+\frac{c}{c+1}=1-\frac{1}{(c+1)(a(c+1)+1)}\le 1-\frac{1}{(a+c)^3} < 1-\frac{1}{n^3}$$

Espero que más lacónica solvatación existe:)

Answer 2

Desde $n>a+c \ge 2$$n \ge 3$. Por otra parte, $a<b$$c<d$, debido a $$\frac ab + \frac cd <1$$.

Considere los siguientes casos.

a) Deje $b \ge n$$d \ge n$, $$\frac ab + \frac cd \le \frac an + \frac cn=\frac {a+c}{n} \le \frac {n-1}{n}=1-\frac 1n<1- \frac{1}{n^3}.$$

b) Vamos a $b \le n$$d \le n$, luego $$\frac ab + \frac cd <1 \Rightarrow ad+bc<bd \Rightarrow ad+bc+1 \le bd$$ Desde aquí $$\frac ab + \frac cd \le 1- \frac{1}{bd} \le 1- \frac {1}{n^2}<1- \frac{1}{n^3}$$

c) Deje $b < n<d$. Si $d \le n^2$. a continuación, $bd \le n^3$ y, a continuación, $$\frac ab + \frac cd \le 1- \frac{1}{bd} <1- \frac{1}{n^3}$$ Si $d>n^2$, luego $$\frac cd \le \frac{n-2}{n^2}=\frac 1n- \frac {2}{n^2},$$ debido a $c<n-a \le n-1$,$c \le n-2$. Supongamos que $$\frac ab + \frac cd \ge 1 - \frac {1}{n^3}.$$ Entonces $$1-\frac ab \le \frac cd + \frac {1}{n^3} \le \frac 1n - \frac {2}{n^2}+\frac{1}{n^3}< \frac 1n. $$ Por lo tanto, lo $b>n(b-a)\ge n$ (aquí debemos tomar en cuenta que el $a<b$), lo que contradice la desigualdad $b<n<d$.

d) Deje $d < n<b$. Si $b \le n^2$,$bd < n^3$, y, a continuación, $$\frac ab +\frac cd \le 1 - \frac {1}{bd} < 1- \frac {1}{n^3}$$ Si $b>n^2$, luego $$\frac ab \le \frac {n-2}{n^2}=\frac 1n - \frac {2}{n^2},$$ debido a $a<n-c \le n-1$,$a \le n-2$. Supongamos que $$\frac ab + \frac cd \ge 1 - \frac {1}{n^3}.$$ Entonces $$1 - \frac cd \le \frac ab + \frac {1}{n^3} \le \frac 1n - \frac {2}{n^2}+\frac{1}{n^3}< \frac 1n.$$ $c<d \Rightarrow d> n(d-c) \ge n$. Tengo una contradicción con la desigualdad de $d<n<b$.

Así que la desigualdad $$\frac ab + \frac cd < 1 - \frac {1}{n^3}$$ se realiza en todos los casos que había. probar.