Demostrar que la relación se $x^n + y^n = z^n$ no se cumple para $n \geq z$

Question

Suponga $x, y, z$, e $n$ son enteros positivos, y $n \geq z$. Demostrar que la relación se $x^n + y^n = z^n$ no posee.

Me resulta difícil relacionar la condición de $n \geq z$ a resolver esta cuestión. Tal vez este es el mejor demostrado por inducción. Podría empezar con $n = 1$. Luego tenemos a $x+y = 1$ para el que no existen enteros positivos soluciones de $(x,y)$. Podemos asumir entonces que la afirmación es verdadera para algunos $k \geq z$. Por lo tanto no existe ningún número entero positivo de solución de pares $(x,y)$$x^k+y^k = z^k$. Hemos de demostrar que es el mismo para $x^{k+1}+y^{k+1} = z^{k+1}$.

Answer 1

Puesto que suponemos que $x,y,z$ son enteros positivos, tenemos $x^n + y^n > y^n$, y desde $a \mapsto a^n$ es monótona, se deduce que el $x^n + y^n > z^n$ si $y \geqslant z$. Por el mismo razonamiento podemos excluir $x \geqslant z$.

Para$x,y < z$,$x^n + y^n \leqslant 2(z-1)^n$, y luego mostrar a $2(z-1)^n < z^n$ termina la prueba. Puesto que, por hipótesis de $n \geqslant z$, tenemos

$$\frac{(z-1)^n}{z^n} = \biggl(1 - \frac{1}{z}\biggr)^n \leqslant \biggl( 1 - \frac{1}{z}\biggr)^z,$$

y esto se comprueba fácilmente si no se sabe que

$$\biggl(1 - \frac{1}{z}\biggr)^z < e^{-1}$$

para todos los enteros positivos $z$. Por lo tanto

$$\frac{2(z-1)^n}{z^n} < \frac{2}{e} < 1.$$