dado $a^2+b^2=28ab$ lo que es $\log_{3}\left (\frac{(a+b)^2}{ab}\right)$ ?

Question

Dado $a^2+b^2=28ab$ lo que es $\log_{3} \left(\dfrac{(a+b)^2}{ab}\right)$ ?

$\log_{3} \left(\dfrac{(a+b)^2}{ab}\right)$

$\log_{3} \left(\dfrac{a^2+b^2+2ab}{ab}\right)$

$\log_{3} \left(\dfrac{a^2+b^2}{ab}+\dfrac{2ab}{ab}\right)$

$\log_{3} \left(\dfrac{28ab}{ab}+\dfrac{2ab}{ab}\right)$

$\log_{3} 30$

Aquí intenté usar las propiedades pero no pude conseguirlo.

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$\log_{3} 3 + \log_{3} 10 = 1 + \log_{3} 10$

$\log_{10} 3 = \dfrac{25}{12} = \dfrac{\log_{3} 3}{\log_{3} 10} = \dfrac{1}{\log_{3}10}$

$\dfrac{12}{25} = \dfrac{1}{\log_{3}10} \implies \log_{3}10 = \dfrac{25}{12}$

$\log_{3} 30 = 1 + \log_{3} 10 = 1 + \dfrac{25}{12}=\dfrac{12+25}{12}=\dfrac{37}{12}$

Answer 1

El núcleo no escrito del problema es que es posible para determinar $C = (a+b)^2/ab$ (y por tanto también su logaritmo en base 3) dada la primera ecuación en $a$ y $b$ . Esto no sería cierto si la condición se hubiera modificado a

$a^2 + b^2 = 28ab + 5, \quad$ o

$a^3 + b^3 = 28ab, \quad$ o

$\sqrt{a^2+b^2}=28ab$ .

En este caso, la condición puede expresarse como $C=30$ . Pero no es cierto en general que dada alguna condición sobre $a$ y $b$ cualquier otra función de $a$ y $b$ se puede calcular.