Calcular $\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{x}{[x]}$.

Question

Cuando tomo de la mano izquierda el límite de la función $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{x}{[x]}$, $\displaystyle\lim_{h\to 0^{-}}\frac{-h}{[-h]}=\lim_{h\to 0^{-}}\frac{-h}{-1}=0$ donde $0<h<1$ y [ ] es el mayor entero de la función. Pero cuando me tomo de la mano derecha límite, entonces la función de $\frac{h}{[h]}$ no existe. así que no entiendo lo que acerca de $\displaystyle\lim_{h\to 0^{+}}\frac{h}{[h]}$ y el límite de la función original. ¿El límite? por favor que alguien me ayude

Gracias de antemano.

Answer 1

Hay un teorema en el Análisis que los estados:

Dado un punto límite $c$ de un conjunto $A$ y una función $f:A\rightarrow\mathbb{R}$, $\lim_{x\rightarrow c}f(x)=L$ si y sólo si \begin{align*} \lim_{x\rightarrow c^-}f(x)=L\qquad\text{and}\qquad\lim_{x\rightarrow c^+}f(x)=L \end{align*}

Dado que en nuestro ejemplo de la derecha, el límite de $ \lim_{x\rightarrow 0^+}\frac{x}{[x]}$ no existe de ello se sigue, que el límite de $$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x}{[x]}$$ no existe.