Integral es igual al valor intermedio

Question

Deje $f$ dos veces continuamente diferenciable. Demostrar que no existe $\xi\in (-1,1)$ tal que $$\int_{-1}^1 xf(x)dx=\frac{2}{3}f'(\xi)+\frac{1}{3}\xi f''(\xi).$$

Lo que he intentado es como sigue.

$$\frac{2}{3}f'(\xi)+\frac{1}{3}\xi f''(\xi)=\frac{1}{3}[xf(x)]''|_{x=\xi}.$$

Pero entonces, ¿cómo podemos hacer...

Answer 1

Lema. Deje $g(x)$ es dos veces continuamente diferenciable. Entonces existe $\xi\in(-1,1)$ tal que $$\int\limits_{-1}^1 g(x)\,dx=2g(0)+\frac13 g''(\xi).$$

Prueba: Ampliación $g(x)$ por la fórmula de Taylor obtenemos $g(x)=g(0)+xg'(0)+\frac{x^2}{2}g''(\xi(x))$ donde $\xi(x)\in(-1,1)$. Entonces $$\int\limits_{-1}^1 g(x)\,dx=g(0)\int\limits_{-1}^1\,dx+g'(0)\int\limits_{-1}^1x\,dx+ \frac12\int\limits_{-1}^1x^2g''(\xi(x))\,dx=2g(0)+\frac12\int\limits_{-1}^1x^2g''(\xi(x))\,dx.$$ Por el primer valor medio teorema para la integración existe $x_1\in(-1;1)$ tal que $$\int\limits_{-1}^1x^2g''(\xi(x))\,dx=g''(\xi(x_1))\int\limits_{-1}^1x^2\,dx=\frac23g''(\xi(x_1)),$$ desde $x^2\geq 0$ $g''(\xi(x))=\cases{\dfrac{2(g(x)-g(0)-xg'(0))}{x^2},\quad x\neq0 \\ g''(0),\quad x=0}$ es una función continua. Denotando $\xi=\xi(x_1)$ obtenemos la fórmula necesaria.

Para obtener el resultado en cuestión sólo tenemos que tomar en este lema $g(x)=xf(x)$.

Answer 2

Poner $g(x)=xf(x)$, $\displaystyle H(x)=\int_{-1}^x g(t)dt$, y $\displaystyle G(x)=\int_{x}^{1} g(t)dt$. La función de $H$ $3$ tiempo diferenciable, y $H^{\prime}(x)=g(x)$, $H^{\prime\prime}(x)=g^{\prime}(x)$ y $H^{\prime\prime\prime}(x)=g^{\prime\prime}(x)$.

Tenemos para todos los $x$ que existe $c_x\in ]-1,1[$ (dependiendo $x$) tal que:

$$H(x)=H(0)+xH^{\prime}(0)+\frac{x^2}{2}H^{\prime\prime}(0)+\frac{x^3}{6}H^{\prime\prime\prime}(c_x)$$ Por lo tanto, si la ponemos a $x=1$ existe $c_{1}\in ]-1,1[$ tal forma que:

$$H(1)=H(0)+\frac{f(0)}{2}+\frac{g^{\prime\prime}(c_1)}{6}$$

Tenemos que $G^{\prime}(x)=-g(x)$. De la misma manera,

$$G(x)=G(0)+xG^{\prime}(0)+\frac{x^2}{2}G^{\prime\prime}(0)+\frac{x^3}{6}G^{\prime\prime\prime}(d_x)$$

y existe $d_{-1}\in ]-1,1[$ tal que

$$G(-1)=G(0)-\frac{f(0)}{2}+\frac{g^{\prime\prime}(d_{-1})}{6}$$

Ahora $\displaystyle I=\int_{-1}^1 xf(x)dx=H(1)=G(-1)=H(0)+G(0)$. Obtenemos:

$$I=\frac{1}{6}(g^{\prime\prime}(c_1)+g^{\prime\prime}(d_{-1}))$$

Supongamos wlog que $d_{-1} \leq c_1$, y poner $J=[d_{-1}, c_1]$.

Si $\displaystyle M={\rm Sup}\{g^{\prime\prime}(x), x\in J\}$$\displaystyle m={\rm Inf}\{g^{\prime\prime}(x), x\in J\}$, tenemos:

$$m\leq 3I\leq M$$ Como $g^{\prime\prime}$ es continua, existe $c\in J\subset (-1,1)$ tal que $g^{\prime\prime}(c)=3I$, y hemos terminado.