La suma $$S(x)=\sum_{k=1}^\infty\frac{\sin(kx)}{kx}$$ puede ser escrito en forma cerrada: $$S(x)=\frac{1}{x}\left(\frac{1}{2}i\left(\ln(1-\exp(ix)\right)-\ln\left(1-\exp(-ix)\right)\right)$$ Estoy en problemas en el cálculo del límite: $$S_0=\lim_{x\to\infty}S(x)$$ La transformación de la $S(x)$ en las funciones trigonométricas de recibir: $$S(x)=-\frac{1}{2x}\arctan\left(-\sin(x),1-\cos(x)\right)+\frac{1}{2x}\arctan(\sin(x),1-\cos(x))$$ pero esto no me ayuda a evaluar $S_0$. Me gustaría tener alguna sugerencia útil para resolver el problema. Gracias.
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En general, supongamos que la serie de $$S_n(x)=\sum_{k=1}^n\frac{\sin(kx)}{k}$$
para $0<x<2\pi$
$$
\begin{eqnarray}
S_n(x)&=&\int_0^x \sum_{k=1}^n \cos(kt) \;\mathrm dt=-\frac{x}{2}+\int_0^x \frac{\sin\left((2n+1)\frac{t}{2}\right)}{2\sin\left(\frac{t}{2}\right)}\;\mathrm dt=\\
&=&-\frac{x}{2}+\int_0^x \frac{\sin\left((2n+1)\frac{t}{2}\right)}{2\sin\left(\frac{t}{2}\right)}\;\mathrm dt\pm \int_0^x \frac{\sin\left((2n+1)\frac{t}{2}\right)}{t}\;\mathrm dt=\\
&=&-\frac{x}{2}+\underbrace{\int_0^x \left[\frac{1}{2\sin\left(\frac{t}{2}\right)}-\frac{1}{t}\right]\sin\left((2n+1)\frac{t}{2}\right)\;\mathrm dt}_{S_{1n}(x)}+\underbrace{\int_0^x \frac{\sin\left((2n+1)\frac{t}{2}\right)}{t}\;\mathrm dt}_{S_{2n}(x)}
\end{eqnarray}
$$
De acuerdo a la Riemann-Lebesgue Lema$\lim_{n\to\infty}S_{1n}(x)=0$
Haciendo la sustitución de $u=(2n+1)\frac{t}{2}$ $S_{2n}(x)$ va a llevar a
$$S_{2n}=\int_0^{(2n+1)\frac{x}{2}}\frac{\sin(u)}{u}\mathrm du$$
Y $\lim_{n\to\infty}S_{2n}(x)=\frac{\pi}{2}$. Por lo tanto $\lim_{n\to\infty}S_{n}(x)=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\frac{\sin(kx)}{k}=\frac{\pi-x}{2}$.
Por lo que suma es $$S(x)=\frac{\pi-x}{2x}$$
Le va a ayudar a encontrar a $S_0$?
