Deje $f$ ser un verdadero valorado continua en función de muchas variables cuyos débiles derivados de primer orden son continuas. Es esta función es igual a una.e. función de la clase $C^1$ ?
Respuesta
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Deje $\Omega$ ser un dominio en el que $f$ está definido. Considere la posibilidad de $f_\epsilon = f* \phi_\epsilon$ donde $\phi_\epsilon $ es un estándar mollifier. Estos se definen en un menor dominio de $\Omega'\Subset \Omega$. Por las propiedades básicas de convolución,
- $f* \phi_\epsilon\to f$ uniformemente $\epsilon \to 0$.
- $\nabla (f*\phi_\epsilon) = (\nabla f)*\phi_\epsilon$.
- $(\nabla f)*\phi_\epsilon \to \nabla f$ uniformemente $\epsilon \to 0$.
La secuencia de $f_n=f*\phi_{1/n}$ es de Cauchy en la norma de $C^1(\Omega')$. (De hecho, $f_n$ es convergente, por lo tanto de Cauchy en el uniforme de la norma; lo mismo se aplica para cada derivada parcial de $f_n$.) Desde $C^1(\Omega')$ es completa, la secuencia converge a un elemento de $C^1(\Omega')$. Este elemento es $f$, debido a que el punto 1.
Por cierto, usted no necesita la "equivale a una.e.": si dos funciones continuas son la misma.e., son iguales en un subconjunto denso, por lo tanto en todas partes.
Observación. La declaración sigue siendo cierto si sólo suponemos $f$ a ser localmente integrable. En este caso, el punto 1 se sustituye por "$f* \phi_\epsilon\to f$.e. como $\epsilon \to 0$". Fijar un punto de $x_0$ a que la convergencia tiene lugar. Desde $|f(x_0)|+\sup_{\Omega'} |\nabla f|$ es un equivalente de la norma en $C^1(\Omega)$, y el resto pasa a ser como antes. Esta vez, la una.e. la parte de "es igual a una.e. a un $C^1$ función" es necesario.
