En primer lugar, permítanme ampliar ligeramente en el último párrafo de Geoff Robinson respuesta. Su pregunta es equivalente a la pregunta de si $G=\text{GL}_2(\mathbb{F}_p)$ tiene un fiel 2-dimensional representación compleja. Ahora, este tipo de representación no puede ser la suma de dos dimensiones, ya que todo se toma a través de $G'$, por lo que usted está buscando una representación irreducible.
Las representaciones irreducibles de $\text{GL}_2(\mathbb{F}_p)$ son en realidad bastante fácil de escribir. Si usted inducir todas las posibles representaciones tridimensionales de $B=\begin{pmatrix}* & *\\0 & *\end{pmatrix}$, luego las inducciones será irreducible (por lo tanto, $p+1$- dimensional) o van a ser productos directos de la unidimensionalidad y otro irreductible. De esta manera se consigue que los personajes levantado de $G/G'$ y algunos $p$-dimensiones irreductibles. El resto de las representaciones irreducibles de $G$ tiene dimensión $p-1$ (que también puede ser escrito de forma explícita, pero un poco menos fácilmente). En resumen, las dimensiones de las representaciones irreducibles de $G$ 1, $p-1$, e $p$.
Ahora, a su motivación: por lo general, cuando las personas intentan "hacer mod $l$ representaciones complejas", lo que significa que se eleva a la característica 0. En otras palabras, si $\overline{\rho}:\Gamma\longrightarrow \text{GL}_n(\mathbb{F}_l)$ es una representación, encontrar una representación
$$
\rho:\Gamma\longrightarrow \text{GL}_n(\mathbb{Z}_l)\hookrightarrow \text{GL}_n(\mathbb{Q}_l)
$$
que se reduce a $\overline{\rho}$ modulo $l$. Cuando esto se puede hacer es bastante delicada cuestión, en general. Después de eso, usted puede corregir algunos de incrustación de $\mathbb{Q}_l$ a $\mathbb{C}$ si se desea, para hacer de $\rho$ en una representación compleja.
