Topológico distinguishibilty de $\infty$ después de un punto compactification?

Question

Deje $X$ ser el punto de compactification de algunas localmente compacto Hausdorff espacio. Deje $\infty \in X$ representan el agregado punto.

Hay siempre un homomorphism $\phi:X \to X$$\phi: \infty \mapsto x \ne \infty$?

En otras palabras: siempre se puede encontrar un homomorphism de $X$ a sí mismo que se asigna el punto de $\infty$ a un punto diferente de X?

A mí me parece que la respuesta se supone que no.

Answer 1

Tome $\{\frac{1}{n}\,|\,n\in\mathbb{N}\}$ y compactify con $0$. Cualquier homeomorphism toma el conjunto abierto $\{\frac{1}{n}\}$ a un conjunto abierto, es decir, no $\{0\}$, lo $\{0\}$ es fijo.

Answer 2

Tenga en cuenta el espacio que es un círculo y dos de sus diámetros de menos su intersección (el centro del círculo). El único punto compactification de este espacio sólo se suma el centro de la circunferencia: $$\Huge{\otimes}$$ pero no hay otros puntos con $$\Huge{\times}$$ en forma de barrios en este espacio, por lo que cada auto-homeomorphism de un punto compactification envía el punto en el infinito a sí mismo.