Si $\int_0^\infty x f(x) \ dx < \infty$$\int_0^\infty \int_0^\infty f(x+y) \ dx \ dy< \infty$?

Question

Pregunta: Vamos a $f : [0, \infty) \to [0,\infty)$ ser medibles función que, más que ser integrable, satisface $\int_0^\infty x f(x) < \infty$. De lo anterior se sigue que el $\int_0^\infty \int_0^\infty f(x+y) \ dx \ dy< \infty$?

Comentario: La conclusión no se sostiene si sólo suponga $\int_0^\infty f(x) \ dx <\infty$. Por ejemplo, la secuencia de $a_n = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$ es tal que $\sum_{n=1}^\infty a_n < \infty$, pero $\sum_{n=1}^\infty \sum_{m=1}^\infty a_{n+m} = \infty$. No es difícil adaptar este ejemplo, para el contexto actual.

Comentario: las Cosas caen también aparte si la integral de la $\int_0^\infty \int_0^\infty f(x+y) \ dx \ dy$ no está tomada durante el primer cuadrante sólo. Si $f : \mathbb{R} \to [0,\infty)$ es medible y no cero en casi todas partes, a continuación, asumiendo $\int_0^\infty x f(x) \ dx < \infty$ no cambia el hecho de que la integral de $f(x+y)$ sobre todos, por ejemplo, la línea horizontal será el mismo número positivo, de modo que $\int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty f(x+y) \ dx \ dy = \infty$.

---

Añadido: En retrospectiva, una buena forma geométrica para ver que las dos integrales debe ser igual a la nota que $(x,y) \mapsto f(x+y)$ es constante a lo largo de las líneas de pendiente $-1$, el valor de $f$$x+y = a$$f(a)$. Mientras tanto, la longitud de la intersección de las $x+y = a$ con el 1er cuadrante crece linealmente con $a$.

Answer 1

Tenga en cuenta que por Tonelli del teorema,

$$ \int_0^R \int_0^{R-x} f(x+y) \, dydx = \int_0^R \int_{x}^{R} f(y) \, dydx = \int_0^R \int_{0}^{y} f(y) \, dxdy = \int_0^R yf(y) \, dy. $$

Ahora se puede aplicar el teorema de convergencia monótona para mostrar que

$$ \int_0^{\infty} \int_0^{\infty} f(x+y) \, dydx = \int_0^{\infty} yf(y) \, dy $$

independientemente de lo finito, de ambos lados.

Answer 2

Este es Tonelli del teorema: $$\eqalign{ \int_{[0,+\infty)^2} f(x+y)dydx&=\int_0^\infty\left(\int_0^\infty f(x+y)dy\right)dx\cr &=\int_0^\infty\left(\int_x^\infty f(t)dt\right)dx\cr &=\int_0^\infty f(t)\left(\int_0^t dx\right)dt\cr &=\int_0^\infty tf(t)dt<+\infty} $$ cual es la conclusión deseada.