¿Por qué la descomposición de Cholesky requiere una matriz definida positiva?

Question

¿Por qué la factorización de Cholesky requiere la matriz A sea positiva definida? ¿Qué ocurre cuando factorizamos una matriz no definida positivamente?

Supongamos que tenemos una matriz A' que no es positiva definida (por lo que al menos un menor principal es negativo). ¿Se puede demostrar que no hay L como A' = LL* ? Si no es así, ¿el criterio de definición positiva no eliminaría algunas de las matrices que podrían descomponerse?

También podríamos plantear esta cuestión en forma de demostración para la siguiente afirmación: For any square matrix L, the product LL* is a positive definite matrix.

Answer 1

Supongamos una matriz $A$ factores como $A = L^* L$ . Entonces \begin{align} x^* Ax &= x^* L^* L x \\ &= (Lx)^* (Lx) \\ &= \| Lx \|^2 \\ &\geq 0. \end{align} Esto demuestra que $A$ es semidefinido positivo.

Si además suponemos que $L$ es cuadrado y triangular con entradas reales positivas en la diagonal, entonces $L$ es invertible, por lo que $Lx = 0 \iff x = 0$ . En este caso, vemos que $A$ es positiva definida.

Answer 2

También podríamos plantear esta cuestión en forma de demostración para la siguiente afirmación: Para cualquier matriz cuadrada L, el producto LL* es una matriz definida positiva.

Semi definitivo.

Vamos con la definición:

$$x^* L L^* x = (L^*x)^* (L^*x) = y^* y, \quad y := L^*x.$$

Por la definición del producto escalar euclidiano, $y^* y = \langle y, y \rangle \ge 0$ con la igualdad si y sólo si $0 = y = L^* x$ .

Así que, $x^* L L^* x \ge 0$ para todos $x$ Por lo tanto $L L^*$ es semidefinido positivo. Además, es definida positiva si

$$L^*x = 0 \quad \Leftrightarrow \quad x = 0,$$

es decir, si $L$ es de un rango completo de filas.

Answer 3

Basta con considerar el caso de los números $\Bbb M_1(\Bbb R)$ . Si tenemos un número negativo $a<0$ entonces su descomposición Cholesky no existe:

$$ll^\ast = |l|^2 = a<0.$$