El cómputo de la monodromy para una cubierta de la esfera de Riemann (y Puiseux expansiones)

Question

Dado un polinomio irreducible $P(X,Y) \in \mathbb{C}[X,Y]$, se obtiene por la continuación analítica de una superficie de Riemann $M$ con un ramificada cubriendo $f \colon M \to \mathbb{P}^1_{/\mathbb{C}}$, correspondiente a $P(z,f) = 0$.

De particular interés en esta instalación es el monodromy, es decir, la acción de grupo fundamental de la $\mathbb{P}^1(\mathbb{C}) \setminus B$ (donde $B$ es el conjunto de puntos de ramificación) en una fibra por encima de algunos genéricos punto de $p$.

Para calcular la legislación local monodromies (alrededor de cada punto de ramificación), uno puede calcular Puiseux de la serie alrededor del punto de ramificación y la lectura de los monodromy de datos.

¿Cómo se hace exactamente calcular, dado que sólo el polinomio $P(X,Y)$, con lo que las diferentes Puiseux de la serie? Es allí una manera más intuitiva de ver lo que la cubierta se ve como sin entrar en largas y cálculos de potencia de la serie?

Answer 1

El potencial de la ramificación de puntos de $X_0$ s.t. cualquiera de las $P$ $\partial P/\partial Y$ tienen en común un cero en algunos $(X_0,Y_0)$, o el grado de $P(X_0,Y)\in\mathbb{C}[Y]$ es de menos de $n$ o $X_0=\infty$. Consideremos el primer caso, es decir, supongamos que $Y_0\in\mathbb{C}$ $k$veces la raíz de $P(X_0,Y)\in\mathbb{C}[Y]$ (el resto de los casos son similares). Para $X_1$ cerca de $X_0$ múltiples de la raíz se divide en $k$ raíces distintas. Genéricamente vamos a obtener un $k$-ciclo en el local monodromy en $X_0$ (las raíces de someterse a una permutación cíclica cuando vamos en torno a $X_0$). A veces, sin embargo, podemos obtener una permutación de estos $k$ raíces. Puede ser determinada utilizando polígono de Newton de la siguiente manera.

Podemos suponer que $(X_0,Y_0)=(0,0)$ (por el cambio de las variables). Para cada monomio $Y^aX^b$ $P$ dibujamos el punto de $(a,b)$ en el avión y, a continuación, tomamos el casco convexo de estos puntos. Consideramos que sólo la parte de la frontera del polígono resultante a partir de la cual $(0,0)$ es visible. Deje $s_1,\dots,s_q$ ser estos lados y deje $k_1,\dots,k_q$ ser las longitudes de las proyecciones de $s_i$'s de la $x$-eje; claramente tenemos $k_1+\dots+k_q=k$. Si ninguno de los lados $s_i$'s de contener cualquier número entero de puntos en el interior, a continuación, $(k_1,\dots,k_q)$ son las longitudes de los ciclos de los locales monodromy.

Por ejemplo, para el polinomio $X^3+ 5XY^3-8Y^7+iY^{10}+(2+i)X^4-X^2Y^4$ obtenemos $-8Y^7+iY^{10}$ cuando se establezca $X=0$, es decir, $Y=0$ $7$veces la raíz, y el polígono de Newton es

de manera que podemos obtener un $3$-ciclo y un $4$-ciclo.

(Si algunos de $s_i$ contener un número entero de punto interior, entonces las cosas se vuelven más complicadas: esencialmente, sabemos que tenemos una serie de Puiseux solución de $Y=cX^t+\dots$ $P(X,Y)=0$ donde $-t$ es la pendiente de $s_i$, y necesitamos saber qué denominadores aparecen en los exponentes de esta serie. Nos plantea fundamentalmente $Z=Y-cX^t$, para obtener una ecuación para $Z$, y el uso de nuevo polígono de Newton a ver qué pasa.)

Newton polígono es igual de útil para la determinación de las ramificaciones para finito de extensiones de $p$-ádico números (el método es el mismo).