Demostrar que $\int_{0}^{1}f(x)^2dx\geq 4$

Question

Dejemos que $f:[0,1]\rightarrow \mathbb{R} $ sea una función integrable con $\int_{0}^{1}f(x)dx=\int_{0}^{1}xf(x)dx=1$ .
Demostrar que $\int_{0}^{1}f(x)^2dx\geq 4$ .

Lo tengo. $\int_{0}^{1}F(x)dx=F(0)$ pero no creo que sea útil en absoluto.

Answer 1

Yo empezaría con

$$\int_0^1 dx \left [f(x) - (a x+b) \right ]^2 \ge 0 $$

para cualquier $a,b \in \mathbb{R}$ . Expande las integrales y utiliza la información proporcionada para obtener que

$$\int_0^1 dx \, f(x)^2 \ge 2 a+2 b - \frac13 a^2-a b-b^2 $$

Entonces maximizaría la expresión de la derecha. Sea la expresión del lado derecho $g(a,b)$ .

Podemos maximizar tomando derivadas de $g(a,b)$ wrt $a$ y $b$ y poniéndolos a cero. Obtenemos entonces un sistema de ecuaciones

$$2 a + 3 b = 6$$ $$a+2 b=2$$

lo que implica que $a=6$ y $b=-2$ . Tenga en cuenta que $g_{aa} g_{bb} - g_{ab}^2 = \frac13 \gt 0$ y $g_{aa} = -\frac23 \lt 0$ así que el punto crítico que encontramos es efectivamente un máximo. Entonces es fácil comprobar que $g(6,-2)=4$ .

Answer 2

Observe que $\int_{0}^{1}f(x)g(x)\mathrm{d}x$ define un producto interno en el espacio de las funciones cuadradas-integrables en $[0,1].$ Si $\int_{0}^{1}f(x)^{2}\mathrm{d}x=+\infty,$ entonces es ciertamente al menos 4, por lo que podemos limitarnos a este caso. Ahora observemos que si $f(x)=a+bx,$ entonces $\int_{0}^{1}f(x)^{2}\mathrm{d}x=a^{2}+ab+b^{2}/3,$ y $$\int_{0}^{1}f(x)\mathrm{d}x=a+b/2,\quad\int_{0}^{1}xf(x)\mathrm{d}x=a/2+b/3.$$ Ahora bien, si $f$ es una función general integrable al cuadrado, debe ser de la forma $a+bx+g(x),$ donde $g(x)$ es ortogonal a $1$ y $x$ con respecto a este producto interno, es decir $\int_{0}^{1}g(x)\mathrm{d}x=\int_{0}^{1}xg(x)\mathrm{d}x=0.$ Entonces tenemos que \begin{align*}\int_{0}^{1}f(x)^{2}\mathrm{d}x&=\int_{0}^{1}(a+bx)^{2}+2(a+bx)g(x)+g(x)^{2}\mathrm{d}x\\&=\int_{0}^{1}(a+bx)^{2}+g(x)^{2}\mathrm{d}x\\&\geq \int_{0}^{1}(a+bx)^{2}\mathrm{d}x=a^{2}+ab+b^{2}/3.\end{align*}

Resolución del sistema de ecuaciones $a+b/2=1,$ $a/2+b/3=1,$ conseguimos que $a=-2$ y $b=6,$ por lo que tenemos que $\int_{0}^{1}f(x)^{2}\mathrm{d}x\geq 4.$

Answer 3

La idea de Michael:

$(a+b)^2=\left(\int_0^1(ax+b)f(x)dx\right)^2=T$

Conocemos la desigualdad de Cauchy-Schwarz:

$\left(\int_Df\cdot gdx\right)^2\le \int_Df^2dx\int_Dg^2dx$

Utilizamos esta desigualdad:

$(a+b)^2=T\le \int_0^1(f(x))^2dx\int_0^1(ax+b)^2dx$

$\int_0^1(f(x))^2dx\ge \frac{(a+b)^2}{\frac{a^2}{3}+ab+b^2}$

$a=-3b$