¿Cuáles son las soluciones a $a^2+ab+b^2$ $=$ $3^n$?

Question

¿Cuáles son todos los conocidos entero de soluciones de ($a, b, n$) a $a^2+ab+b^2$ $=$ $3^n$ además de ($1, 1, 1$) y ($-2, 1, 1$)? Hacemos cualesquiera otros que aún existen?

Esta pregunta viene de la identidad que ($a^3±b^3$)/($a±b$) $=$ $0, 1$ $\pmod 3$. Si ($a^3±b^3$)/($a±b$) $=$ $0$ $\pmod 3$, a continuación, vamos a $3^n$ más de potencia de $3$ división ($a^3±b^3$)/($a±b$). ($a^3±b^3$)/(($a±b$)$*3^n$) $=$ $1$ $\pmod 3$. Cuando hace ($a^3±b^3$)/(($a±b$)$*3^n$) $=$ $1$?

Answer 1

El conjunto de soluciones para $$ x^2 + xy + y^2 = 1 $$ in integers is finite (6).

 x = 1, y = 0 target 1
 x = -1, y = 0 target 1
 x = 1, y = -1 target 1
 x = -1, y = 1 target 1
 x = 0, y = 1 target 1
 x = 0, y = -1 target 1

The set of solutions to $$ x^2 + xy + y^2 = 3 $$ in integers is finite(6).

 x = 2, y = -1 target 3
 x = -2, y = 1 target 3
 x = 1, y = 1 target 3
 x = -1, y = -1 target 3
 x = 1, y = -2 target 3
 x = -1, y = 2 target 3

If $$ x^2 + xy + y^2 \equiv 0 \pmod 9 $$ then both $x,y$ are divisible by $3.$

This means that all solutions to your $3^n$ thing are $3^w$ veces los elementos de los dos primeros (finito) de conjuntos.

Answer 2

Deje $a=u+v$$b=u-v$. De la siguiente manera: $$a^2+ab+b^2=(u+v)^2+(u^2-v^2)+(u-v)^2$$ Por lo tanto $$3u^2+v^2=3^n$$ Si $n=0$,, $u=0$ $v=\pm 1$

Si $n=1$, luego $v^2=3(1-u)(1+u)$ $\implies$ $(u,v)=(\pm 1,0),(\pm 1, \pm 1 )$

Si $n>1$, $u,v$ son ambos divisibles por 3.