¿Cómo se puede demostrar $\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+(n+1)^2= \frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}$ sin mucho esfuerzo?

Question

Voy a seguir a corto y tomar sólo un extracto (parte más importante) de la edad de la tarea.

$$\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+(n+1)^2= \frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}$$

Lo que he hecho es mucho trabajo y mucho tiempo, tengo que "simplemente" resuelto. Pero creo que con mucho menos trabajo, no sería una forma más fácil y rápida. Es sólo que no la veo : /

Si alguien quiere ver, aquí está mi solución de largo que yo no soy feliz con:

$$\frac{n(n+1)(2n+1)+6(n+1)^2}{6}=\frac{(n^2+2n+n+2)(2n+3)}{6} \Leftrightarrow$$

$$\Leftrightarrow \frac{(2n^3+n^2+2n^2+n)+6n^2+12n+6}{6} = \frac{(n^2+3n+2)(2n+3)}{6} \Leftrightarrow$$

$$\Leftrightarrow \frac{2n^3+3n^2+n+6n^2+12n+6}{6}=\frac{2n^3+3n^2+6n^2+9n+4n+6}{6} \Leftrightarrow$$

$$\Leftrightarrow \frac{2n^3+9n^2+13n+6}{6}=\frac{2n^3+9n^2+13n+6}{6}$$

Answer 1

Puesto que usted desee $n+1$ a aparecer como un factor en la final, sólo quiero dejar eso como un factor: $$ \frac{n(n+1)(2n+1)+6(n+1)^2}6 = \frac {n(2n+1) + 6(n+1)} 6 (n+1). $$ Que se convierte en $$ \frac {2n^2 + n + 6n + 6} 6 (n+1) = \frac{2n^2 + 7n+6} 6 (n+1) = \frac{(n+2)(2n+3)} 6 (n+1) $$

Answer 2

Oh bondad, usted no necesita mucho trabajo. Todo lo que necesitas hacer es esto:

$$\begin{align}\frac{n(n+1)(2n+1)}6+(n+1)^2&=\frac{n(n+1)(2n+1)}6+\frac{6(n+1)^2}6\\(1)&=c\bigg(n(2n+1)+6(n+1)\bigg)\\(2)&=c\bigg(2n^2+7n+6\bigg)\\(3)&=c\bigg((n+2)(2n+3)\bigg)\end{align}$$

$(1)$ factor $(n+1)/6$ y llamar a $c$.

$(2)$ expanda el resto de cosas

$(3)$ factor el resto de cosas.

Answer 3

Aquí es una solución. Desde cada lado de la identidad es un polinomio de tercer grado (se puede reducir a grado 2 por la cancelación de $(n+1)$), sólo se puede verificar que para $4$ (o $3$ después de la cancelación) valores distintos de $n$ dice $n=1,0,-1,-2$ luego de que estás hecho. Tenga en cuenta que he escogido a los valores específicos de $n$, de tal manera de hacer cálculos fácil (algunos de los términos desaparecer para $n=0,-1,-2$).

Esto es útil si las expresiones son complicados. Ver el final de esta respuesta http://math.stackexchange.com/a/1814894/72031 donde puedo usar esta técnica para demostrar una identidad que involucran polinomios de grado $4$.

Actualización: este es idéntica a la de Hagen von Eitzen comentario que he visto. Estoy marcado como wiki de la comunidad.

Answer 4

Tenga en cuenta que $$n(2n+1)+6(n+1)=2n^2+7n+6=(n+2)(2n+3)$$ Multiplicando ambos lados por $\dfrac {n+1}6$ $$\frac {n(n+1)(2n+1)}6+(n+1)^2=\frac {(n+1)(n+2)(2n+3)}6$$

Answer 5

La mayoría de los método general: hacer todas las multiplicaciones en ambos lados para transformar los numeradores forma canónica, a continuación, compruebe los polinomios son el mismo grado y han respectivos coeficientes iguales.