Demuestre que es imposible enumerar los números racionales en orden creciente

Question

Este es el problema nº 6 de la sección 1.2 del libro de Ash Variables reales con topología básica del espacio métrico .

Me piden que demuestre que es imposible enumerar los números racionales en orden creciente.

Aunque sé que es posible enumerar un subconjunto finito de los números racionales en orden creciente, Me preguntaba si la razón de la imposibilidad en este caso es porque no hay un mínimo elemento de $\mathbb{Q}$ ?

Es decir, es posible imponer un orden en $\mathbb{Q}$ (corrígeme si me equivoco, pero parece que es posible comparar dos racionales cualesquiera).

Pero el conjunto $\mathbb{Q}$ es, por supuesto, un subconjunto de sí mismo, y el principio de ordenación dice que un conjunto $S$ está bien ordenado sólo si cualquier subconjunto de $S$ contiene un elemento mínimo. Dado que $\mathbb{Q}$ no contiene un elemento mínimo, no parece que sea un conjunto bien ordenado.

¿Es esta la idea correcta de por qué es imposible? Si no es así, ¿podría alguien explicarme cuál es la idea correcta y una estrategia para demostrarla?

Gracias por adelantado.

Answer 1

Hay muchas maneras de demostrar que esto es imposible. Como bien sugieres, no existe el menor número racional, por lo que en cuanto declaras que un número racional es el primero de la lista, todos los números racionales que están por debajo de él no pueden aparecer en la lista.

Suponiendo que permita que su lista sea infinita en ambas direcciones (es decir, en biyección preservadora del orden con $\mathbb{Z}$ ), sigue siendo imposible, pero el argumento de los elementos mínimos ya no funciona. Para demostrar que sigue siendo imposible, se puede utilizar el hecho de que $\mathbb{Z}$ no es denso, pero $\mathbb{Q}$ es. De hecho, supongamos $q,r \in \mathbb{Q}$ aparecen en posiciones $0$ y $1$ en la lista. A continuación, $q<r$ ya que la lista se escribe en orden creciente; pero entonces $q < \frac{q+r}{2} < r$ Así que $\frac{q+r}{2}$ debe aparecer entre $0$ y $1$ en la lista, lo cual es evidentemente imposible.

Answer 2

"Me piden que demuestre que es imposible enumerar los números racionales en orden creciente. "

Puede que no se haya dicho explícitamente, pero se asume implícitamente que el "orden" en este sentido es el orden que todos conocemos y amamos desde la escuela primaria, donde $n < n+1$ y $a > 0; b < c \implies ab < ac$ etc.

"Me preguntaba si la razón de la imposibilidad en este caso se debe a que no hay un mínimo elemento de Q? "

Bueno, sí, para tener una lista una lista debe tener un primer elemento. Y para cada elemento de la lista debe haber un elemento siguiente distinto que le siga inmediatamente. Ambas cosas son imposibles si los racionales están ordenados con el orden que conocemos y amamos .

"Es decir, es posible imponer un ordenamiento a Q (corrígeme si me equivoco, pero parece posible comparar dos racionales cualesquiera)"

Bueno, obviamente. El orden que conocemos y amamos si $a > b$ si $a - b > 0$ o $m/n > p/q$ si $mq >pn$ . Eso no es "impuesto". Nos lo han dado y lo hemos usado desde que aprendimos a contar.

Pero también podemos imponer una diferentes orden si queremos. Más adelante hablaremos de ello.

"Pero el conjunto Q es, por supuesto, un subconjunto de sí mismo, y el principio de ordenación dice que un conjunto S está bien ordenado sólo si cualquier subconjunto de S contiene un elemento mínimo. Como Q no contiene un elemento mínimo, no parece que sea un conjunto bien ordenado".

Precisamente. $\mathbb Q$ es no un conjunto bien ordenado al utilizar el orden que conocemos y amamos . Y el hecho de que $\mathbb Q$ no tiene ningún elemento menor lo demuestra (al igual que que ningún elemento tiene un sucesor inmediato.

"¿Es esta la idea correcta de por qué es imposible?"

Sí. Lo has hecho. Has terminado. Ve a casa y toma una taza de cacao.

....

Entonces... ¿cuál es el problema?

Me imagino que has escuchado por el Principio del Buen Orden que $\mathbb Q$ ES un conjunto bien ordenado. Eso es cierto. Pero esto se refiere a un diferentes método de pedido que el que conocemos y amamos.

Todos los conjuntos contables pueden ser enumerados (no necesariamente ser tamaño sino por otros criterios) y podemos llamar al orden en el que están listados un ordenamiento bueno.

Si utilizamos la lista "diagonal" de racionales (1/1, 1/2, 2/1, 1/3, [omitir 2/2] 3/2, 1/4, 2/3, 3/2, 1/4, 1/5, [omitir 2/4],[omitir 3/3][omitir 4/2] 5/1, etc.) Y definimos pedir como:

$r < t$ si $r$ aparece en la lista antes que $t$ .

Entonces tendríamos $1 < 1/2 < 2 < 1/3 < 3/2 < 1/4 < 2/3 .....$ . Este ordenamiento, que todos conocemos y odiamos, y que no tiene nada que ver con tamaño pero sólo tiene que ver con recorrer una diagonal y/o hacer una lista, es un buen ordenamiento.

Pero no es el orden que conocemos y amamos.

Que no está bien ordenado.

Eso es todo.

......

Oh, espera. Eso es no todo. El incontable reales según el axioma de elección (equivalente al Principio de Ordenación del Bien cuando se extiende a conjuntos incontables ) tendrá un buen ordenamiento. Si lo tiene (el Axioma de Elección es un axioma, no un teorema, y puede no probarse) nadie sabe lo que es. Puede que me equivoque, pero creo que al igual que no se puede demostrar el axioma de la elección, también sabemos que no se puede encontrar el buen orden de los reales.

Pero los racionales son contables, así que ese es un tema diferente.

Answer 3

Creo que estás confundiendo diferentes ordenamientos entre sí. Sí, el Principio de Ordenación del Pozo dice que cualquier conjunto, incluyendo $\mathbb{Q}$ puede estar bien ordenada, pero no será la misma ordenación habitual de los números. "Aumentar" con respecto a esa nueva ordenación no será lo mismo que con respecto a la relación habitual "menor o igual" de los números.

Este ejercicio del libro de texto, en cambio, es específicamente, sobre la pedido habitual de números (reales y sus subconjuntos). Y tu idea para una prueba es perfectamente válida. Si haces una lista así, entonces habrá un primer elemento en ella, pero no hay un número racional más pequeño en el sentido habitual . O también puedes mirar dos números consecutivos cualesquiera en dicha lista (hipotética) y demostrar que, de hecho, hay algunos otros números racionales entre ellos.