Yuhao frecuentes en el 20-preguntas seminario:
El género de una curva es un birational invariante; el campo de función de una curva determina a birational equivelance.
¿Cómo ves el género directamente desde el campo?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
sickgemini
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2001
Deje que $k$ ser el campo de tierra.
El Kahler diferenciales de $\Omega_{K/k}$ son $K$ espacio vectorial generado por formal de símbolos $dg$ sujetos $d(f+g)=df+dg$, $d(fg) = f dg + g df$ y $da=0$ para $a \in k$. Este es un unidimensional de $K$ espacio vectorial.
Deje que $\omega$ ser un diferencial. Para cualquier tipo de valoración $v$ en $K$, vamos a $t$ tales que $v(t)=1$. Decimos que $\omega$ es regular en v si $v(\omega/dt) \geq 0$. Decimos que $\omega$ es regular si es regular en cada una valoración de $K/k$. A continuación, el espacio de regular los diferenciales es de $k$ espacio vectorial de dimensión $g$.
MÁS IDEAS
Tanto Ben respuesta y la mía se utiliza el conjunto de las valoraciones de los $K/k$. Esto significa esencialmente que hemos utilizado en el campo de tierra $k$. Una valoración de $K/k$ se define como una valoración de $K$, que es trivial en $k$; por el contrario, el campo de tierra pueden ser recuperados a partir de las valoraciones que el respeto por la fórmula $k = \bigcap_{v} v^{-1}(\mathbb{R}_{\geq 0})$.
Aquí es un aleccionador ejemplo para mostrar que no puede haber ninguna solución que sólo utiliza las propiedades del campo $K$, sin referencia a $k$. Vamos a $C$ y $D$ dos irreductible de las curvas de los diferentes géneros. Deje que $K$ a ser el campo de meromorphic funciones en $C \veces D$, vamos a $k$ y $\ell$ ser los campos de funciones en $C$ y $D$. Entonces $K$ es de una trascendencia grado 1 extensión de ambos $k$ y $\ell$, pero tiene diferentes géneros cuando se considera en estas dos formas.
Chad Cooper
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131
Asumiendo que el trabajo de más de $\mathbb C$, se puede ver en la estructura del grupo de Galois. Los puntos de la curva puede ser visto como no Arquimedianos valoraciones sobre el campo, y usted puede ver si un mapa de curvas es ramificado, mirando valoraciones (cada primer en el pequeño campo debe tener la valoración de 1 o 0 para cualquier tipo de valoración de la más grande de campo). Básicamente, esto significa que alrededor de cualquier punto en el dominio y su destino, el completado local anillos parecen a $\mathbb{C}[[t]]$ y $\mathbb{C}[[s]]$, y el mapa debe siempre ser $s\mapsto a_1t+a_2t^2\cdots$, de los cuales $a_1\neq 0$ (por lo que el mapa de las terminaciones es un isomorfismo).
Hay una máxima unramified extensión de campo, y el grupo de Galois de esta extensión es la profinite la finalización de $\pi_1(X)$ en el sentido topológico, por lo que el género puede obtenerse consultando el abelianization.
DShook
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Ian Agol
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Danny Calegari aborda la cuestión de la forma de ver el género de una afín a la curva. Para obtener el género de una curva algebraica de la función de campo, tomar dos elementos genéricos en el campo (dándole un mapa para ℂ2) y, a continuación, tomar un mínimo polinomio relación entre ellos. A continuación, calcular el polígono de Newton de este polinomio, y contar el número de celosía puntos del interior como se describe en Danny la entrada del blog. Quizás esto es lo más insatisfactorio una respuesta, aunque como tomar un mapa de ℂℙ1 y el uso de Riemann-Hurwitz....
Andrew S
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La de Riemann-Roch teorema (o incluso un fragmento de él por una secuencia de divisores de grado mayor) puede ser expresada en términos del campo $K$, su campo constante $k$ (como David Speyer señaló que esto es muy importante) y a las valoraciones de $K/k$. El género es el número único de hacer la de Riemann-Roch teorema de verdad. Más específicamente, para los divisores de $D$ de lo suficientemente grande grado, $g = \gr D - l(D) + 1$.
@shenghao Si utiliza una definición similar para los campos numéricos, usando $l(D)$ para el logaritmo de $|L(D)|$ (en lugar de su dimensión, la cual no está definida), se obtiene que el logaritmo de la absoluta discriminante es el análogo del género.
