Es cierto que para dos variables aleatorias $A$$B$,
$$E(A\mid B)=E(B\mid A)\frac{E(A)}{E(B)}?$$
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Dilip Sarwate
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$$E[A\mid B] \stackrel{?}= E[B\mid A]\frac{E[A]}{E[B]} \tag 1$$ La conjetura resultado $(1)$ es trivialmente cierto para los independientes variables aleatorias $A$ $B$ con un valor distinto de cero significa.
Si $E[B]=0$, entonces el lado derecho de la $(1)$ implica una división por $0$ $(1)$ es sin sentido. Tenga en cuenta que si no $A$ $B$ son independientes, no es relevante.
En general, $(1)$ no posee dependientes de variables aleatorias pero los ejemplos específicos de dependiente de $A$ $B$ satisfacción $(1)$ puede ser encontrado. Tenga en cuenta que debemos seguir insistiendo en que $E[B]\neq 0$, de lo contrario el lado derecho de la $(1)$ es sin sentido. Tenga en cuenta que $E[A\mid B]$ es una variable aleatoria que pasa a ser una función de la variable aleatoria $B$, decir $g(B)$ mientras $E[B\mid A]$ es una variable aleatoria es una función de la variable aleatoria $A$, decir $h(A)$. Por eso, $(1)$ es similar a la pregunta de si
$$g(B)\stackrel{?}= h(A)\frac{E[A]}{E[B]} \tag 2$$ puede ser una declaración verdadera, y obviamente la respuesta es que $g(B)$ no puede ser un múltiplo de $h(A)$ en general.
A mi conocimiento, sólo hay dos casos especiales donde $(1)$ puede contener.
Como se señaló anteriormente, para el independiente de variables aleatorias $A$ y $B$, $g(B)$ y $h(A)$ son degenerados variables aleatorias (llamados constantes por estadísticamente desconocimiento de la gente) de que la igualdad de $E[A]$ $E[B]$ respectivamente, y así si $E[B]\neq 0$, tenemos igualdad en $(1)$.
En el otro extremo del espectro de la independencia, supongamos que $A=g(B)$ donde $g(\cdot)$ es una función invertible y por lo tanto $A=g(B)$ $B=g^{-1}(A)$ son totalmente dependientes de variables aleatorias. En este caso, $$E[A\mid B] = g(B), \quad E[B\mid A] = g^{-1}(A) = g^{-1}(g(B)) = B$$ y por lo $(1)$ se convierte en $$g(B)\stackrel{?}= B\frac{E[A]}{E[B]}$$ que tiene exactamente al $g(x) = \alpha x$ donde $\alpha$ puede ser cualquier número real distinto de cero. Por lo tanto, $(1)$ mantiene siempre $A$ es un escalar varios de $B$, y, por supuesto, $E[B]$ debe ser distinto de cero (cf. Michael Hardy respuesta). El anterior desarrollo muestra que $g(x)$ debe ser un lineal de la función y que $(1)$ no puede mantener para afín a las funciones de $g(x) = \alpha x + \beta$$\beta \neq 0$. Sin embargo, tenga en cuenta que Alecos Papadopolous en su respuesta y sus comentarios a partir de entonces las reclamaciones que si $B$ es una normal de la variable aleatoria con un valor distinto de cero significa, entonces, para una específica los valores de $\alpha$ $\beta\neq 0$ que se ofrece, $A=\alpha B+\beta$ y $B$ satisfacer $(1)$.
En un comentario sobre esta respuesta, Huber ha sugerido teniendo en cuenta la simétrica conjeturó la igualdad $$E[A\mid B]E[B] \stackrel{?}=E[B\mid A]E[A]\tag{3}$$ que, por supuesto, siempre tiene para variables aleatorias independientes, independientemente de los valores de $E[A]$ $E[B]$ y para los múltiplos escalares $A = \alpha B$ también. Por supuesto, más trivialmente, $(3)$ vale para cualquier valor cero las variables aleatorias $A$ $B$ (independiente o dependiente, escalar múltiples o no; no asunto!): $E[A]=E[B]=0$ es suficiente para la igualdad en$(3)$. Por lo tanto, $(3)$ podría no ser tan interesante como $(1)$ como un tema de discusión.
kjetil b halvorsen
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El resultado no es cierto en general, vamos a ver que en un ejemplo sencillo. Deje $X \mid P=p$ tiene una distribución binomial con parámetros de $n,p$ $P$ tenemos la versión beta distrubución con los parámetros de $(\alpha, \beta)$, es decir, un modelo bayesiano con el conjugado antes. Ahora se acaba de calcular los dos lados de su fórmula, el lado izquierdo es $\DeclareMathOperator{\E}{\mathbb{E}} \E X \mid P = nP$, mientras que el lado derecho es $$ \E( P\mid X) \frac{\E X}{\E P} = \frac{\alpha+X}{n+\alpha+\beta} \frac{\alpha/(\alpha+\beta)}{n\alpha/(\alpha+\beta)} $$ y esos son, ciertamente, no es igual.
Martin Robins
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Dilip la respuesta es excelente. Voy a simplemente agregar un poco más explícita la notación para resaltar lo absurdo de la ecuación en cuestión.
Más explícita la notación:
Deje $A$ $B$ ser real con valores de variables aleatorias y deje $a$ $b$ ser números reales. La expectativa de $A$ condicional en conocer el valor de $B$ es una función.
Deje $f(a) = \mathrm{E}[B \mid A = a]$. Esta es una función de $a$, pero no de $b$.
Deje $g(b) = \mathrm{E}[A \mid B = b]$. Esta es una función de $b$, pero no de $a$.
Su pregunta, en esencia, es si para todos los $a$ $b$ (en el apoyo de $A$ $B$ respectivamente):
$$ f(a) \mathrm{E}[A] \overset ? = g(b) \mathrm{E}[B]$$
Esto es totalmente una declaración extraña. El lado izquierdo es una función de $a$. El lado derecho es una función de $b$. No pueden ser iguales, si bien $f$ o $g$ varía en absoluto! (Como Dilip puntos, si $f$ $g$ son constantes, a continuación, $f = \mathrm{E}[B]$ $g = \mathrm{E}[A]$ y la ecuación se tiene trivialmente.)
Contraste con la Regla de Bayes:
$$ P(B = b \mid A = a) = \frac{P(A = a \mid B = b) P(B = b)}{P(A = a)}$$
Tanto en el lado izquierdo y el lado derecho de la ecuación son funciones de $a$$b$.
Trevor Boyd Smith
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El condicional valor esperado de una variable aleatoria $A$ dado el caso de que $B=b$ es un número que depende de qué número $b$ es. Así llamarlo $h(b).$, Entonces el valor esperado condicional $\operatorname{E}(A\mid B)$ $h(B),$ una variable aleatoria cuyo valor está totalmente determinado por el valor de la variable aleatoria $B$. Por lo tanto $\operatorname{E}(A\mid B)$ es una función de $B$ $\operatorname{E}(B\mid A)$ es una función de $A$.
El cociente $\operatorname{E}(A)/\operatorname{E}(B)$ es sólo un número.
De manera que un lado de su propuesta de que la igualdad es determinado por $A$ y el otro por $B$, por lo que generalmente no pueden ser iguales.
(Tal vez debería añadir que lo que puede ser igual en el caso trivial en el que los valores de $A$ $B$ determinar cada uno de los otros, como cuando, por ejemplo, $A = \alpha B, \alpha \neq 0$$E[B]\neq 0$, cuando $$E[A\mid B] = \alpha B = E[B\mid A]\cdot\alpha = E[B\mid A]\frac{\alpha E[B]}{E[B]} = E[B\mid A]\frac{E[A]}{E[B]}.$ $ , Pero las funciones son iguales entre sí sólo en un par de puntos no iguales).
Jeff Bauer
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La expresión ciertamente no posee en general. Para la diversión de ella, voy a mostrar a continuación que si $A$ $B$ seguir conjuntamente una distribución normal bivariante, y no es cero, el resultado va a mantener si las dos variables son funciones lineales de cada uno de los otros y tienen el mismo coeficiente de variación (el cociente de la desviación estándar sobre la media) en términos absolutos.
Conjuntamente normales tenemos
$$\operatorname{E}(A \mid B) = \mu_A + \rho \frac{\sigma_A}{\sigma_B}(B - \mu_B)$$
y nos quieren imponer
$$\mu_A + \rho \frac{\sigma_A}{\sigma_B}(B - \mu_B) = \left[\mu_B + \rho \frac{\sigma_B}{\sigma_A}(A - \mu_A)\right]\frac{\mu_A}{\mu_B}$$
$$\implies \mu_A + \rho \frac{\sigma_A}{\sigma_B}(B - \mu_B) = \mu_A + \rho \frac{\sigma_B}{\sigma_A}\frac{\mu_A}{\mu_B}(A - \mu_A)$$
Simplificar $\mu_A$ y, a continuación,$\rho$, y re-arreglos para obtener
$$B = \mu_B +\frac{\sigma^2_B}{\sigma^2_A}\frac{\mu_A}{\mu_B}(A - \mu_A)$$
Así que esta es la relación lineal que se debe mantener entre las dos variables (por lo que son, ciertamente, dependiente, con un coeficiente de correlación igual a la unidad en términos absolutos) en orden a obtener la deseada igualdad. ¿Qué implica?
En primer lugar, debe también estar convencido de que
$$E(B) \equiv \mu_B = \mu_B+\frac{\sigma^2_B}{\sigma^2_A}\frac{\mu_A}{\mu_B}(E(A) - \mu_A) \implies \mu_B = \mu_B$$
así que no hay otras restirction se impone en la media de $B$ ( o de $A$) a excepción de ellos es distinto de cero. También una relación para la variación debe ser satisfecho,
$$\operatorname{Var}(B) \equiv \sigma^2_B = \left(\frac{\sigma^2_B}{\sigma^2_A}\frac{\mu_A}{\mu_B}\right)^2\operatorname{Var}(A)$$
$$\implies \left(\sigma^2_A\right)^2\sigma^2_B = \left(\sigma^2_B\right)^2\sigma^2_A\left(\frac{\mu_A}{\mu_B}\right)^2$$
$$\implies \left(\frac{\sigma_A}{\mu_A}\right)^2 = \left(\frac{\sigma_B}{\mu_B}\right)^2 \implies (\text{cv}_A)^2 = (\text{cv}_B)^2$$
$$\implies |\text{cv}_A| = |\text{cv}_B|$$
que iba a ser mostrado.
Tenga en cuenta que la igualdad de coeficiente de variación en términos absolutos, permite que las variables a tener diferentes variaciones, y también, uno positivo y la otra negativa.
