Digamos que la esfera tiene radio 1 centrada en el origen en $\Bbb R^3$ y los discos se están moviendo con velocidad 1. Y digamos también que en la foto de la $z$-eje apunta hacia arriba, y el $y$ eje puntos de la normal al plano de movimiento de la cosa negra. También vamos a utilizar la convención de que en el tiempo cero el disco negro tiene centro en $(0,0,1)$ y el blanco en$(0,1,0)$, Entonces Usted, literalmente, puede parametrizar las dos curvas que describen el centro de los discos de una manera sencilla:
$\gamma_{black}(t) = (\sin t, 0, \cos t)$
$\gamma_{white}(t) = (-\sin t, \cos t, 0)$
Así que si usted calcular distancias (restando y tomando la norma al cuadrado), es claro que no siempre son equidistantes.
Así que ¿por qué no les parece que siempre están equidistantes en la foto?
Bien, si usted toma una buena mirada, el movimiento de los dos discos no es lo largo exacto de la esfera, pero más como algún tipo de elipsoide.
Así que en lugar de utilizar el modelo esférico $x^2+y^2+z^2=1$, probar el modelo elipsoidal $x^2+y^2/2+z^2/2=1$. En otras palabras, vamos a considerar la imagen de este rígido movimiento en el mapa de $(x,y,z) \mapsto (x, \sqrt 2 y, \sqrt 2 z)$. Así que el nuevo proceso de parametrización será
$\gamma_{black}(t) = (\sin t, 0, \sqrt 2 \cos t)$
$\gamma_{white}(t) = (-\sin t, \sqrt 2 \cos t, 0)$
Y en este modelo vemos que son siempre equidistantes! (Bueno, esos son mis dos centavos al menos. Podría ser el total de BS. Realmente depende de cómo usted quiere interpretar estas dos dimensiones de la proyección de tres dimensiones el movimiento para que todos sabemos que los planos de movimiento puede incluso no ser ortogonales, que haría las fórmulas más complicadas).
