El exponencial de los anillos y los campos que se suele estudiar como estructuras con dos operaciones binarias $(+,\cdot)$ y una única operación $\exp(x)$ definida en un conjunto a $K$. Por qué no considerar la exponencial como una operación binaria $\star : K\times K\rightarrow K\;,\quad x\star y=x^y$ y la búsqueda de propiedades de una estructura con tres operaciones binarias con adecuado axiomas? Hay algunas sutiles "obstrucción" para el estudio de este tipo de estructuras?
PS. Me etiqueta como un suave pregunta debido a que la búsqueda de un no muy tecnico respuesta ( si es posible).
Añadido un mes después. Esta pregunta adquirido cierta reputación, pero no hay respuestas ni comentarios. He leído este resultado como : "la pregunta me parece interesante, pero es demasiado borroso para hablar de ello". Así que me presenta aquí un poco de mi trabajo, con el objetivo de definir mejor la pregunta.
La estructura que estoy buscando es $(E,+,\cdot,\star)$ donde E es no nula conjunto y:
Axioma 1) $(E,+,\cdot)$ es un anillo con identidad multiplicativa $1$. Suponemos que este anillo tiene la característica $0$. (De hecho, esto es una lista de axiomas).
En este anillo se adopte la costumbre notaciones para $n\in \mathbb{N}$: $nx$ es la suma de $n$ elementos idénticos y $x^n$ es el producto de $n$ elementos idénticos.
La operación binaria $\star: E \times E \rightarrow E$ es tal que, a $ \forall x,y,z, \in E$ ve tiene:
Axioma 2) $\quad x\star (y+z)=(x\star y) \cdot (x\star z) $
A partir de este tenemos : $x\star(ny)=(x \star y)^n$
Axioma 3) $\quad (x \cdot y)\star z= (x \star z) \cdot (y \star z) $
Axioma 4a) $ \quad 0 \star x=0 \qquad \forall x \in E$
Axioma 4b) $ \quad \forall x \ne 0 \Rightarrow \exists y \in E$ tal que $x \star y \ne 0$
Axioma 4c) $ \quad \forall x\ne 1_E \Rightarrow \exists y \in E$ tal que $x \star y \ne 1_E$
donde $1_E$ es el elemento neutro del producto. Estos dos últimos son los axiomas introducidos para evitar la trivialidad.
A partir de estos axiomas podemos prueba alguna proposición simple, como:
Prop.1) $ \forall x,y,z, \in E$ tenemos:$(x\star y) \cdot (x\star z)=(x\star z) \cdot (x\star y)$.
Prop.2) $\forall x \in E$ si $(1_E-x\star 0)$ es un cero a la derecha del divisor que también es un cero a la izquierda divisor y $x\star y$ es un divisor de cero para todos los $y \in E$. Si $(1_E-x\star 0)$ no es un divisor de cero de a $x \star 0=1 \; \forall x \in E$.
Prop.3) Si $(1_E-x\star 0)$ no es un divisor de cero en el conjunto de $ R_x=\{y : \exists z \in E \rightarrow y=x \star z\}$ es un grupo en el anillo de la multiplicación.
La proposición 4) $\forall y \in E$ si $(1_E-1_E\star y)$ es un cero a la derecha del divisor que también es un cero a la izquierda divisor y $x\star y$ es un divisor de cero para todos los $x \in E$.
Prop. 5) Si $(E,+,\cdot)$ es un anillo de división de $R=\bigcup_x R_x$ es un grupo bajo la multiplicación con $1_E$ como elemento neutro.
Me detengo aquí(por ahora). Así que mi pregunta es si estos axiomas son suficientes para definir un "agradable" de la estructura, y si este enfoque puede ser muy interesante. Desde mi conocimiento de álgebra universal y a la categoría de teoría son muy buenos, no sé si todo este trabajo tiene un sentido, o si hay resultados generales que pueden ser usados o que muestran que, finalmente, este es un callejón sin salida.
