Demostrando que$\sum\limits_{n = 0}^{2013} a_n z^n \neq 0$ if$a_0 > a_1 > \dots > a_{2013} > 0$ y$|z| \leq 1$

Question

Les voy a enseñar un curso de preparación para el análisis complejo de examen de calificación de mi universidad (que consiste básicamente en mí haciendo algunos problemas de exámenes anteriores) y estoy tratando de resolver algunas preguntas de exámenes anteriores. Una de las preguntas es la siguiente:

Demostrar que $\displaystyle{\sum_{n = 0}^{2013} a_n z^n \neq 0}$ si los coeficientes de satisfacer $a_0 > a_1 > \dots > a_{2013} > 0$$|z| \leq 1$.

Traté de abordar el problema mediante el uso de la inversa de la desigualdad del triángulo para intentar aislar el líder plazo, que yo pensaba que debería ser el coeficiente constante, de la siguiente manera:

$$\begin{array} . \left| \sum_{n = 0}^{2013} a_n z^n \right| &= \left| a_0 + \sum_{n = 1}^{2013} a_n z^n \right| \\ &\geq |a_0| - \left| \sum_{n = 1}^{2013} a_n z^n \right|\\ &\geq |a_0| - \sum_{n = 1}^{2013} |a_n z^n|\\ &\geq a_0 - \sum_{n = 1}^{2013} a_n |z^n|\\ &\geq a_0 - \sum_{n = 1}^{2013} a_0 |z^n|\\ &= a_0\left( 1 - \sum_{n = 1}^{2013} |z^n| \right) \end{array}$$

A continuación, para $|z| < 1$, tenemos que esta última expresión es igual a

$$a_0\left( 1 - |z| \frac{|z|^{2013} - 1}{|z| - 1} \right)$$

y mi esperanza era demostrar que este fue siempre positiva, sin embargo, después de no poder demostrarlo, he trazado la expresión dentro de los paréntesis como una función de la $|z|$, y que además, cambia de signo en el intervalo de $(0, 1)$.

Pregunta

Puede que mi planteamiento de alguna manera trabajar? Y si no, ¿cómo puedo demostrar que la suma de $\displaystyle{\sum_{n = 0}^{2013} a_n z^n \neq 0}$ bajo las condiciones dadas?

Muchas gracias por cualquier ayuda.

Answer 1

Usted puede mirar (con $N$ = 2013). $$g(z) = zf(z) - f(z) = a_N z^{N+1} + (a_{N-1} - a_N) z^{N} + (a_{N-2} - a_{N-1}) z^{N-1} + \cdots + (a_0 - a_1) z - a_0$$

Desde $g(z) = (z-1)f(z)$, estrictamente dentro de la unidad de disco de los ceros de $g$ son los mismos que los ceros de $f$. En el límite $g$ tiene un cero en $z = 1$, que debe ser manejado por separado.

$$|g(z)| \ge \Big| |a_0| - |a_N z^{N+1} + (a_{N-1} - a_N) z^{N} + (a_{N-2} - a_{N-1}) z^{N-1} + \cdots + (a_0 - a_1) z | \Big|$$ $$|g(z)| \ge \Big| |a_0| - |a_N + (a_{N-1} - a_N) + (a_{N-2} - a_{N-1}) + \cdots + (a_0 - a_1) | \Big|$$ $$|g(z)| \ge \Big| |a_0| - |a_0 | \| = 0$$ Estrictamente dentro de la unidad de disco nunca hay igualdad. Al $|z| = 1$ consigue la igualdad cuando la $z, z^2, \cdots z^{N+1}$ son colineales, que sólo ocurre en $z=1$. Pero $z = 1$ no es un cero de $f$.

Answer 2

Su enfoque no puede trabajar, porque si por ejemplo, $a_0\to-a_0$ el resultado deja de funcionar, pero su argumento esencialmente sólo depende de $|a_0|$.

Como se señaló en los comentarios, este resultado se muestra en otros lugares, como en Mostrar que las raíces de un polinomio con descendente positivo de los coeficientes de la mentira en la unidad de disco.

---

Ampliando lo anterior, vamos a $a_0=1,a_1=\frac 3 4,a_2=\frac 1 2$ y todo lo demás se desvanecen (o ser $\epsilon$, lo que sea). A continuación, la primera desigualdad anote ha $$|a_0|-\left|\sum_{n=1} a_nz^n\right| \text{ which at }z=1\text{ is just } 1-\frac 5 4 - \cdots \le -\frac 1 4$$ así que usted no tiene ninguna esperanza de delimitación por debajo de cero. Usted necesidad de utilizar la relación entre el $a_0$ y el otro $a_i$, usted no puede simplemente dividir fuera a través de una sola aplicación de la desigualdad de triángulo.

Answer 3

En lugar de una respuesta que he estado un poco más fuerte afirmación: $\newcommand{\CC}{\mathbb{C}}$

Vamos $a_0\geq a_1\geq\cdots\geq a_n>0$, $n\geq 1$, y establecer$f(z):=\sum_{k=0}^na_kz^k~$$z\in\CC$. Si $a_{k-1}>a_k$ para algunos entero $k$, $1\leq k\leq n$, que es coprime a $n+1$ (en particular si $a_0>a_1$ o $a_{n-1}>a_n$), a continuación, $f(z)\neq 0$ siempre $|z|\leq 1$.

Véase mi respuesta a esta pregunta duplicada.

Aquí está una más precisa resultado: $\newcommand{\set}[1]{{\{#1\}}}$$\newcommand{\suchthat}{\mid}$$\newcommand{\unión}{\taza}$$\newcommand{\NN}{\mathbb{N}}$

Vamos $a_0\geq a_1\geq\cdots\geq a_n>0$, $n\geq 1$, y establecer$f(z):=\sum_{k=0}^na_kz^k~$$z\in\mathbb{C}$, $K:=\set{k\in\NN\suchthat\text{$1\leq k\leq n$ and $a_{k-1}>a_k$}}$, $d:=\gcd(K\union\set{n\!+\!1})$. $~$Si $d=1$, $f(z)\neq 0$
para cada $z$ en el cerrado de la unidad de disco $D:=\set{z\in\CC\suchthat |z|\leq 1}$. $~$Si $d>1$, entonces todos los ceros de $f(z)$ que se encuentran en $D$ son $\,\exp(l\!\cdot\!2\pi i/d)$, $1\leq l\leq d-1$, y cada uno de ellos es simple.