Interpratation físico del propagador

Question

Considerar el espacio-tiempo de dominio de Klein-Gordon propagador:

$$G_F(x)=\int\frac{d^4p}{(2\pi)^4}e^{ipx}\frac{1}{p^2-m^2+i\epsilon}$$

Yo entiendo esto como la amplitud en la ubicación de $x$ creado por una fuente ubicada en el espacio-tiempo de evento $(0,0)$. También lo veo como plano de las ondas se propagan con ímpetu $p$ ponderado por $\frac{1}{p^2-m^2}$ : la densidad, si bruscamente alcanzó el punto máximo en la cáscara de las partículas por el polo en el denominador.

Ahora, considere el mismo propagador después de la integración en $p^0$ : $$G_F(x)=\frac{-i}{2}\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}e^{i\bf{p.x}}\frac{e^{-iEt}}{E}$$

¿Cuál es la interpretación física de este? ¿Qué pasó con el off-shell modos?

Answer 1

Permítanme en primer lugar por favor, corrija su expresión después de la integración de $p_0$ componente, el resultado debe ser

$G_F(\mathbf{x}) = \int \frac{d^3p}{2(2\pi)^3E}e^{i\mathbf{p}.\mathbf{x}}(e^{iEt}-e^{-iEt})$

Esto es debido a que hay dos polos correspondientes a energías positivas y negativas.

Ahora por favor, observar que el predicador puede ser escrita como:

$G_F(\mathbf{x}) = \int \frac{d^3p}{2i(2\pi)^3}\int_{-\infty}^{\infty}d\tau e^{i\mathbf{p}.\mathbf{x}}(\Theta(t-\tau)e^{iE\tau}+\Theta(\tau-t)e^{-iE\tau})$

En esta representación de la (relativista) la causalidad se manifiesta sólo como "anterior" fuentes efecto el punto de energías positivas y "más tarde" las fuentes de energías negativas.

Por otro lado, en la representación original del propagador es analítica en la $p_0$ plano, excepto por los dos polos.

Este ejercicio muestra que la relación de causalidad en el dominio del tiempo es una consecuencia de la analiticidad en el ámbito de la energía, y sólo uno de ellos se manifiesta en un determinado formulario.