Comprobación de Hilberts Nullstellensatz en un ejemplo particular

Question

Deje $k$ ser un algebraicamente cerrado campo de la característica $2$ y considerar las siguientes ecuaciones: $$xy + z^2 = 0$$ $$uv + w^2 = 0$$ $$uy + vx = 0$$ No es difícil de parametrizar las soluciones a estas ecuaciones, hay $4$ de los casos dependiendo de si los valores de $u$ $x$ son cero o no. En cada caso se puede comprobar que las soluciones también satisfacer $$vz + wy = 0$$ así que de acuerdo a la charla de hilbert Nullstellensatz no debe ser un entero $n$ tal que $(vz + wy)^n$ está contenida en el ideal de $I = (xy + z^2, uv + w^2, uy + vx) \subseteq k[u, v, w, x, y, z]$.

Todo esto está bien y bien, aquí está el truco y mi pregunta. Si $k = \mathbb F_2$, entonces el ideal $I$ es primo y no contiene $vz + wy$ (obviamente el Nullstellensatz no se aplica), así que no puedo usar Macaulay2 para encontrar $n$ y dime cómo escribir $(vz + wy)^n$ como una combinación lineal de los generadores de $I$. Existe alguna otra manera de calcular esto? Me gustaría ver realmente lo que la expresión se parece a lo que yo pueda tener una mejor idea de cómo los grandes cambios de campo si el ideal $I$ es primo o no.

Answer 1

Modulo el ideal que tenemos

$$(vz)^2=v^2 z^2 =v^2 xy = v uy y = w^2 y^2 = (wy)^2$$

Por lo tanto, $(vz+wy)^2$ se encuentra en el ideal. Esto funciona sobre cada $\mathbb{F}_2$-álgebra.