Sí, si la fila del medio es un complejo, entonces será exacta. Esto se menciona en el nlab . Parece que es una consecuencia de la lema de la salamandra . También es posible una prueba directa:
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Dejemos que las columnas sean exactas y la primera y tercera fila sean exactas, y supongamos que $A_2 \to C_2$ es cero. Demostramos que $0 \to A_2 \to B_2 \to C_2 \to 0$ es exacta. (Sugiero al lector que mueva el ratón sobre el diagrama mientras sigue la demostración).
1) $A_2 \to B_2$ es mónico: Si $a_2 \in A_2$ mapas a $0 \in B_2$ También se asigna a $0 \in B_3$ . Desde $A_3 \to B_3$ es mónico, la imagen en $A_3$ también será $0$ . Por lo tanto, existe una preimagen $a_1 \in A_1$ de $a_2 \in A_2$ . Mira su imagen $b_1 \in B_1$ . Dado que se asigna a $0 \in B_2$ y $B_1 \to B_2$ es mónico, se deduce que $b_1=0$ . Desde $A_1 \to B_1$ es mónico, se deduce que $a_1=0$ Por lo tanto $a_2=0$ . $\square$
2) $B_2 \to C_2$ es épica: Esto se deduce de 1) (generalizado a las categorías abelianas como es habitual) por dualidad. También es posible una persecución de diagramas, pero un poco más larga. $\square$
3) $\ker(B_2 \to C_2) = \mathrm{im}(A_2 \to B_2)$ : Tenemos $\supseteq$ por la suposición de que $A_2 \to C_2$ es cero. A la inversa, dejemos que $b_2 \in \ker(B_2 \to C_2)$ . Considere la imagen $b_3 \in B_3$ . Se asigna a $0 \in C_3$ por lo que tiene una preimagen $a_3 \in A_3$ . Elija una imagen previa $a_2 \in A_2$ y mira su imagen $b'_2 \in B_2$ . Entonces $b_2-b'_2$ mapas a $0 \in B_3$ por lo que encontramos una preimagen $b_1 \in B_1$ . Observe que $b_2-b'_2$ mapas a $0 \in C_2$ (de hecho, $b'_2$ lo hace desde $A_2 \to C_2$ es cero). De ello se desprende que $b_1$ mapas a $0 \in C_1$ por lo que tiene una preimagen $a_1 \in A_1$ . Sea $a'_2 \in A_2$ ser su imagen. Se asigna a $b_2-b'_2 \in B_2$ para que $a'_2+a_2$ mapas a $(b_2-b'_2)+b'_2=b_2$ . $\square$
Sin la suposición de que $A_2 \to C_2$ es cero, no podemos concluir que la fila del medio es exacta. Incluso en el caso de que cada columna sea exacta por separado. Así que supongamos $A_2=A_1 \oplus A_3$ , $B_2=B_1 \oplus B_3$ , $C_2 = C_1 \oplus C_3$ y que las columnas son las canónicas. Entonces $A_2 \to B_2$ puede escribirse como una matriz $\begin{pmatrix} A_1 \to B_1 & A_3 \to B_1 \\ A_1 \to B_3 & A_3 \to B_3 \end{pmatrix}$ y de manera similar $B_2 \to C_2$ puede escribirse como una matriz $\begin{pmatrix} B_1 \to C_1 & B_3 \to C_1 \\ B_1 \to C_3 & B_3 \to C_3 \end{pmatrix}$ . Aunque el producto de las dos entradas diagonales superiores (inferiores) es cero, el producto de las matrices no tiene por qué ser cero. Hay términos mixtos como $A_1 \to B_3 \to C_1$ y debería ser fácil escribir ejemplos concretos, por ejemplo de espacios vectoriales.
Por último, permítanme mencionar que los lemas de los diagramas "deberían" verse realmente como afirmaciones sobre complejos (o complejos dobles), no sobre diagramas conmutativos. Por lo tanto, no es "malo" que el "lema del nueve medio" "sólo" funcione para los complejos dobles.
