Polinomio

Question

Deje $P(X)$ ser un polinomio con coeficientes reales tales que a $P(\sin t) = P(\cos t), \, \forall t \in \mathbb R$.

Demostrar que existe un único polinomio $Q(Y)$ con coeficientes reales, de tal manera que $P(X) = Q(X^4-X^2)$.

(Lo contrario es trivialmente verdadera.)

NOTA: Este problema no tiene casi nada que ver con la trigonometría, a pesar de las apariencias en contrario. Es realmente acerca de polinomios.

Edit: Se me ocurrió que debo agregar este - para la divulgación completa: he creado este problema hace muchos años, para las Olimpíadas de matemáticas en el país de europa Oriental que yo crecí; yo no estoy en busca de una solución para mí. Me estoy ofreciendo como un divertido desafío para las matemáticas fans en este foro.

Answer 1

De $P(x)=P(\sqrt{1-x^2})$ concluimos que está conformada por poderes incluso, así $P$ $P(x)=L(x^2)$.

Ahora la condición Lee $L(u)=L(1-u)$. Dividir el $L(u)$ $u(1-u)$ para obtener el cociente de la $q(u)$y resto $r(u)$. Sustituto $L(u)=q(u)\,u(1-u)+r(u)$ $L(u)=L(1-u)$ entonces reducir modulo $u(1-u)$ para obtener $au+b\equiv a(1-u)+b$, por lo tanto, $a=0$. Entonces la ecuación funcional desciende a $q(u)=q(1-u)$ el cociente $q$. Inducir en grados para obtener $L(u)=Q(u(1-u))$.

Por lo tanto $P(x)=L(x^2)=Q(x^2(1-x^2))$.

Answer 2

$P(\sin t) = P(\cos t)$ $t \in \mathbb{R}$ implica que el $P(x) = P(\sqrt{1 - x^2})$ % todo $x \in [-1, 1]$, porque para cualquier $x \in [-1, 1]$ allí es $t \in \mathbb{R}$ tal que el $x = \sin(t)$ y $\sqrt{1-x^2} = \cos(t)$ y así $P(x) = P(\sin(t)) = P(\cos(t)) = P(\sqrt{1-x^2})$.

¿Hace más fácil para usted? Puedo darle más consejos si los necesita.

Answer 3

Tenemos $$P(-\sin t)=P(\sin t)$$ because $$P(- \sin t)=P(\sin (-t))=P(\cos (-t))=P(\cos t)=P(\sin t)$$ It follows that the polynomial $P$ is an even function since a polynomial of degree $n$ is completely determined by $n+el 1$ distinct points. Hence $P(x)$ incluso han exponentes sólo.

Por otro lado, es fácil de comprobar los siguientes doble identidad: $$\sin^4 t-\sin^2 t=\cos^4 t-\cos^2 t=-(\sin^2 t \cos^2 t)$$ Porque de $P$ es una función par, uno ha $P(-(\sin x \cos x)^2)=P((\sin x \cos x)^2)$ (para trabajar con positivo, pero no es necesario) $$ P((\sin x \cos x)^2)=P(\sin^4 x-\sin^2 x)$$ La función de $g(x)=(\sin x\cos x)^2$ es una función par de dominio $\mathbb R$ que tiene un máximo igual a $\frac 14$ en cada punto de $x=\frac{(1+2k)\pi}{4}$ .

Tenemos $$P(g(X))=Q(X)=P(X^4-X^2)\qquad (*)$$ La igualdad de polinomios $(*)$ es válida para todo valor de $X=\sin t$, por lo que es válido para todos los $X$.

NOTA FINAL.- Hemos demostrado que existe un polinomio $Q(X)$ tal que $Q(X)=P(X^4-X^2)$, pero la proposición de preguntar acerca de $P(X)= Q(X^4-X^2)$ Son estas dos igualdades equivalentes o hay un error?. De todos modos,la relación $(*)$ es cierto.