Dígitos Impares de $2^n$

Question

Dejemos que $u_{b}(n)$ sea igual al número de dígitos Impares de $n$ en la base $b$ .

Por ejemplo:
En la base $10$ , $u_{10}(15074) = 3$
En la base $13$ , $u_{13}(15610) = u_{13}([7, 1, 4, 10]_{13}) = 2$

¿Cuál es el valor de $$\sum_{n=1}^\infty \frac{u_b(2^n)}{2^n}$$ No creo que haya una buena solución de forma cerrada en el caso general.
Pero cuando la base es par, parece que la suma se evalúa como $\frac{1}{b-1}$ .

No tengo ni idea de cómo enfocarlo. He intentado pensar en la función generadora. Pero no encuentro una relación de recurrencia ni ninguna propiedad agradable.

Answer 1

Esta es mi solución:

Si $a=\sum_{j\geq 0} a_j b^j$ entonces $u_b(a) = \frac{1}{2}\sum_j (1-(-1)^{a_j})$ porque $1-(-1)^m=\begin{cases} 0 & 2\mid m\\ 2 & 2\nmid m\end{cases}$ . Tenga en cuenta que $a_j$ es el dígito directamente a la izquierda del punto decimal en el $b$ -expansión de las radiaciones de $ab^{-j}$ es decir $a_j = \lfloor ab^{-j} \rfloor \mod b$ . Ahora bien, si $b$ es uniforme podemos, por tanto, sustituir $(-1)^{a_j}$ por $(-1)^{\lfloor ab^{-j} \rfloor}$ .

Así: $$\sum_{n\geq 1} 2^{-n} u_b(2^n) = \sum_{n\geq 1,j\geq 0} 2^{-n} \frac{1}{2} (1-(-1)^{\lfloor 2^n b^{-j}\rfloor})$$ Obsérvese que para $j=0$ siempre tenemos $2^n b^{-j} \in 2\mathbb{N}$ para que todos los sumandos de $j=0$ desaparecer. Por lo tanto, suponemos que $j\geq 1$ a partir de ahora.

Ahora tenemos que pensar en $2^n b^{-j}$ . Esto sugiere mirar el $2$ -expansión de las radiaciones de $b^{-j}$ : $$b^{-j} =\sum_{n\geq 1} d_n 2^{-n}$$ para algunos $d_n\in\{0,1\}$ para que $\lfloor 2^n b^{-j} \rfloor \mod 2 = d_n$ .

Lo bueno de los dígitos $d$ de cualquier $2$ -la expansión de la cadencia es que $\frac{1}{2}(1-(-1)^d)$ no sólo indica si $d$ es impar, en realidad es igual a $d$ porque $d\in\{0,1\}$ . Por lo tanto, $\frac{1}{2}(1-(-1)^{\lfloor 2^{n} b^{-j} \rfloor})=\frac{1}{2}(1-(-1)^{d_n})=d_n$ .

Así: $$\sum_{j\geq 1} \sum_{n\geq 1} 2^{-n} \frac{1}{2}(1-(-1)^{\lfloor 2^n b^{-j} \rfloor}) = \sum_{j\geq 1} \sum_{n\geq 1} 2^{-n} d_n = \sum_{j\geq 1} b^{-j} = \frac{1}{b-1}$$ y eso es lo que queríamos probar.