Que $R$ ser un anillo comutativo con la unidad. Supongamos que $P\in Spec(R)$ y sea el casco inyectivo de $E=E(R/P)$ $R/P$. Qué podemos decir acerca de $Hom_R(R/P, E)$. Sabemos que $R/m\cong Hom_R(R/m, E)$, donde $m$ es un ideal maximal de $R$.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Simone
Puntos
924
Para el general de anillos conmutativos, la estructura de la inyectiva módulos pueden ser muy complicados y no puedo responder a tu pregunta en general. De todos modos, uno puede decir muchas cosas acerca de la inyectiva módulos conmutativa Noetherian anillos. Algunos resultados sorprendentes en esta área son ya clásicos (estoy leyendo desde un muy buen papel de Eben Matlis de 1958, I fuertemente recomendar que el papel).
Después de la descomposición de la inyectiva módulos en directo sumas de indecomposable injectives, Matlis pasa a describir la estructura interna de la indecomposable injectives, es decir, de los módulos de la forma $E(R/P)$ para algunos de los mejores ideales $P$. En particular, se muestra que el submódulo $A_1=\{x\in E(R/P): Px=0\}$ es isomorfo a $K(P)$ (el campo de fracciones de $R/P$). Así que usted tiene:
$$\hom_R(R/P,E(R/P))\cong\hom_R(R/P,A_1)=\hom_R(R/P,K(P))\cong K(P).\ \ \ \ (*)$$
El caso que usted menciona acerca de máxima ideales proviene del hecho de que $K(m)\cong R/m$ en el caso de $m$ es máxima.
Si se le cae la Noetherian suposición, entonces no puede ser indecomposable injectives que no son de la forma $E(R/P)$ para algunos prime $P$. No sé si todavía se puede demostrar algo como (*)... tal vez usted puede tratar de leer Matlis' de papel y tratar de ver si algo falla ahí sin Noetherianity (lo que usted necesita es parte (4) del Teorema 3.4 en ese papel).
Para los no-conmutativa Noetherian anillos probablemente hay algo similar se puede decir, al menos para la FBN anillos (restricción de las costuras reasonale que es lo que permite decir que cualquier indecomposable inyectiva es -un sumando de un módulo de la forma $E(R/P)$, en otras palabras, hay un Gabriel correspondencia)... si usted está interesado en estos metters le sugiero que busque en el libro de Jategaonkar, es bastante completa, incluso si, en mi opinión, no es tan fácilmente accesible.
