Supongo que w.l.o.g. $p \equiv 1 \pmod 4$ . El polinomio mínimo de $\zeta_p$ en $\mathbb{Q}(\sqrt{p})$ es el producto de los conjugados $\prod_{\tau\in H} (x-\zeta_p^\tau)$ donde $H$ es el subgrupo (único) de índice $2$ en $G = \operatorname{Gal}(\mathbb{Q}(\zeta_p) : \mathbb{Q})$ correspondiente a $\mathbb{Q}(\sqrt{p})$ .
Explícitamente, si $G = \langle \sigma \rangle$ entonces $H = \langle \sigma^{2} \rangle$ se compone de todos los cuadrados. Más explícitamente, dejemos que $\sigma: \zeta_p \mapsto \zeta_p^l$ sea un generador; entonces $\sigma^2: \zeta_p \mapsto \zeta_p^{l^2}$ . Por lo tanto, el polinomio mínimo es $\prod_{k=1}^{(p-1)/2} (x-\zeta_p^{l^{2k}})$ .
Ilustración, en Sage:
sage: p = 17
sage: L.<zeta_p> = CyclotomicField(p)
sage: K.<z> = L.relativize(L.subfield(L(p).sqrt(), 'sqrt_p')[1])
sage: R.<x> = PolynomialRing(L)
sage: g = z.minpoly(x)
sage: G = L.galois_group()
sage: sigma = G.gen().as_hom()
sage: f = prod( (x - (sigma^(2*k))(zeta_p)) for k in range(0, (p-1)/2) )
sage: f == g
True
Los coeficientes son polinomios simétricos elementales en las raíces. El coeficiente constante es $$N^{\mathbb{Q}(\zeta_p)}_{\mathbb{Q}(\sqrt{p})}(\zeta_p) = \prod_{k=1}^{(p-1)/2} \zeta_p^{l^{2k}} = \zeta_p^{\sum l^{2k}} = 1,$$ ya que la suma de los residuos cuadráticos módulo $p \equiv 1 \pmod 4$ desaparece: $\sum l^{2k} \equiv 0 \pmod p$ .
El coeficiente de $x^{(p-3)/2}$ es $$-\operatorname{Tr}^{\mathbb{Q}(\zeta_p)}_{\mathbb{Q}(\sqrt{p})}(\zeta_p) = -\sum_{k=1}^{(p-1)/2} \zeta_p^{l^{2k}} = \frac{1 \pm \sqrt{p}}{2},$$ donde el signo depende de la incrustación; esto es $-\frac{1}{2}$ veces el suma cuadrática de Gauss $g(1;p) - 1$ .
El coeficiente de $x^{(p-5)/2}$ es $\frac{1}{2}\left[(\sum \zeta)^2 - (\sum \zeta^2)\right]$ donde las sumas son sobre las raíces del polinomio mínimo. La primera suma la acabamos de ver; la segunda es $\frac{1}{2}$ veces el Suma de Gauss $g(2; p) - 1 = \left(\frac{2}{p}\right) \sqrt{p} - 1$ : $$\frac{1}{2}\left[\left(\frac{-1 \mp\sqrt{p}}{2}\right)^2 - \left(\frac{2}{p}\right) \frac{\sqrt{p}}{2} + \frac{1}{2}\right] = \frac{p+3}{8} + \left(\pm 1 + \left(\frac{2}{p}\right)\right)\frac{\sqrt{p}}{4}.$$
Para los demás coeficientes, imite lo anterior utilizando que los polinomios simétricos elementales pueden expresarse en términos de sumas de potencias y que las sumas de potencias son sumas de Gauss.
Además, como $-1$ es un residuo cuadrático mod $p \equiv 1 \pmod 4$ tenemos que $\zeta_p \mapsto 1/\zeta_p$ pertenece a $H$ el polinomio mínimo (único) satisface $p(x) = x^{(p-1)/2} p(1/x)$ , por lo que el polinomio es palindrómico.
