He visto un puñado de pruebas que cualquier finitely módulo generado más de un Noetherian anillo es de nuevo Noetherian. Estoy específicamente tratando de entender la siguiente prueba de idea. Se va como esta:
Observar que si $T\subseteq S$ son submódulos de un $R$-módulo de $M$ $R$ Noetherian, y si $T$ es finitely generado (f.g.) y $S/T$ es f.g., entonces así es $S$. Yo entiendo eso.
Proceder por inducción. Si $M$ $1$generado por decir $M=Rv$, entonces si $\phi\colon R\to M$ definido por $r\mapsto rv$ es un epimorphism, y por lo $M\cong R/\ker(\phi)$, y es Noetherian como el cociente de una Noetherian anillo. Supongamos que se tiene para todos los $k$generado por $R$-módulos, para $k\leq n$. Deje $M=\langle v_1,\dots,v_{n+1}\rangle$. Deje $M'=\langle v_1,\dots, v_n\rangle$. A continuación, vamos a $T=S\cap M'$.
Pensándolo bien, creo que $S$ que supone una arbitraria submódulo de $M$. Deje $T=S\cap M'$. Por lo $T$ es un submódulo de $M'$, por lo tanto finitely generado. Entonces $$ S/T=S/(S\cap M')\cong (S+M')/M'. $$ Cómo es $(S+M')/M'$ finitely generado? Supongo que daría a la conclusión.
