El lenguaje no es necesariamente el que se describe en el artículo. Más común es tener una sola función binaria símbolo.
Dicho esto, los símbolos de la lengua son precisamente eso, símbolos. En particular, $\forall$ $\exists$ son símbolos, no alcance a través de cualquier cosa.
Después de haber descrito el lenguaje, y los axiomas, que son determinadas cadenas de símbolos, obtenemos una teoría de la $T$. Estamos interesados en los modelos de la teoría. Supongamos por simplicidad que nuestro idioma tiene una sola función binaria símbolo $p$. Un modelo de $\mathcal{A}$ de nuestra teoría es un conjunto no vacío $A$, junto con un honesto a la bondad función binaria $p_\mathcal{A}\colon A\times A \to A$ tal que en virtud de la definición habitual de la verdad, todos los axiomas de $T$ son verdaderas en la estructura con base $A$ y binarios de la función $p_\mathcal{A}$.
Los detalles de la definición de la verdad son un poco demasiado largo para dar aquí. A grandes rasgos, podemos definir la verdad en $\mathcal{A}$ de las sentencias $\varphi$ de nuestra lengua por una inducción sobre la complejidad de $\varphi$. Como un ejemplo sencillo, podemos decir que $\varphi\land \psi$ que es verdad en $\mathcal{A}$ si ambos $\varphi$ $\psi$ son verdaderas en $\mathcal{A}$. Tenga en cuenta que $\land$ es una forma de símbolo. Esta parte de la definición de la verdad en un sentido asigna significado a la formal símbolo $\land$. Pero, en principio, la sintaxis, que se ocupa de no interpretada formal de símbolos, se mantiene estrictamente separada de la semántica (modelos). Que la separación no es siempre estrictamente mantenido, porque las preguntas más interesantes lidiar con la interacción entre la sintaxis y la semántica. El vínculo entre los dos es la definición de la verdad en una estructura.
A parte de responder a su pregunta, nos fijamos en la frase
$$\exists x\forall y (p(x,y)=y).$$
El anterior axioma es la intención de afirmar la existencia de una izquierda identidad, pero es sólo una cadena de símbolos. Para este axioma a ser verdadero en $\mathcal{A}$ significa que hay un elemento $e \in A$ tal que para todo $a\in A$, $f_A(e,a)=a$.
Así es en el modelo de estado, que la formal símbolos $\forall$ $\exists$ son interpretados como de trabajo como cuantificadores en el habitual sentido informal. Los detalles técnicos de la definición de la verdad en una estructura $\mathcal{A}$ encargarse de eso. Ya estamos trabajando en un modelo en concreto, la cuantificación es siempre más de un completo conjunto específico $A$, por lo que el universo es siempre un conjunto específico.
En resumen, los modelos de primer orden de la Teoría de Grupos son, precisamente, el conjunto de la teoría de grupos.
