Máximo común divisor de a $2 + 3i$ $1-i$ $\mathbb{Z}[i]$

Question

Máximo común divisor de a $2 + 3i$ $1-i$ $\mathbb{Z}[i]$

Aquí está mi intento de resolver este utilizando de manera generalizada el Algoritmo de Euclides. ¿Se ve bien?

Paso 1

$2 + 3i = M(1-i) + N$

$$\frac{2 + 3i}{1-i} = \frac{2 + 3i}{1-i}\frac{1 + i}{1 + i}$$

$$= \frac{-1 + 5i}{2} = -\frac{1}{2} + \frac{5i}{2}$$

Ahora, este punto en el plano complejo está a igual distancia de la estación de cuatro $a + bi \in \mathbb{Z}[i]$, por lo que podemos elegir cualquiera de ellos para ser $M$, voy a recoger $2i$ por el bien de simplcitiy.

$N = 2 + 3i - M(1 - i) = 2 + 3i - (2i)(1 - i) = 2 + i - 2 = i$

Así que a la conclusión del paso 1 tenemos $$2 + 3i = 2i(1-i) + i$$

Paso 2

$1 - i = M(i) + N$

$\implies M=-1$ $N = 1$

Así que a la conclusión del paso 1 tenemos $$1 - i = (-1)(i) + 1$$

Paso 3

$i = i(1) + 0$

Un resto de $0$ significa que llegamos a la conclusión de que el algoritmo. La última no desapareciendo resto se $1$, lo que significa que el MCD de a$2 + 3i$$1-i$$1$?

Answer 1

Yo podría resolver este buscando en el módulo cuadrado de cada número y tomando el mínimo común divisor de que. en este caso, $|2+3i|^2 = 4+9=13$ $|1-i|^2=1+1=2$ el módulo cuadrado de cualquier divisor común debe, por tanto, dividir 2 y 13, así que debe ser 1. Por lo tanto, la única comunes divisores son i,-1,i,-i

Answer 2

La conversión a una respuesta: Sí, esto es exactamente a la derecha y es como yo lo haría.