¿Cómo hacer una "función"?

Question

Dejé los estudios antes de tiempo cuando aún era adolescente y ahora estoy intentando hacer el GED. Estoy muy cerca de aprobar, pero todavía tengo problemas para entender algunos conceptos.

En la prueba previa, hay esta pregunta:

Añade un número a cada columna de la tabla para que muestre una función. No repitas un par ordenado que esté en la tabla.

$$\begin{array}{c|c} x & y \\ \hline 6 & 6 \\ 3 & 8 \\ 9 & 12 \\ 7 & 8 \\ \fbox{?} & \fbox{?} \end{array}$$

$$\fbox{ 3 }\quad\fbox{ 6 }\quad\fbox{ 7 }\quad\fbox{ 8 }\quad\fbox{ 9 }\quad\fbox{ 12 }$$

No estoy del todo seguro de lo que es una función, y he encontrado algunas preguntas en SE que lo explican, pero no estoy entendiendo nada. Todo es confuso.

Así que esperaba que alguien pudiera explicarme esta cuestión, y cuál es la respuesta, y por qué. Espero que esto pueda ayudarme a entender el concepto.

Answer 1

Las otras respuestas son buenas. Pensé en incluir estas fotos de Wikipedia porque, aunque se puede visualizar una función como una gráfica en $x,y$ ejes, también me gusta visualizar las funciones como objetos conectados por flechas.

Aquí tenemos un ejemplo de una función que convierte $x$ 's en $y$ 's sólo por viajar a lo largo de las flechas.

Se trata de una función perfectamente buena porque no hay ninguna ambigüedad. Podemos ver que $f(1)$ nos da $D$ , $f(2)$ nos da $C$ y $f(3)$ nos da $C$ también.

El siguiente ejemplo no es una función, porque una de las entradas ( $2$ ) tiene más de una salida.

Podemos ver que $f(1)$ es $D$ pero ¿qué pasa con $f(2)$ ? No podemos decidir qué es porque hay más de una salida. Así que esto no es una función. Más bien, es una relación .

(En caso de que te moleste que las salidas sean letras y no números... las funciones pueden conectar dos colecciones de "cosas" cualquiera. Estas cosas no tienen por qué ser números, pero a menudo lo son).

Answer 2

El punto clave aquí es que, por definición, si $y$ es una función de $x$ entonces para cada valor de $x$ hay un único valor de $y$ (Gracias a N.F. Taussig por la redacción).

Cuatro $x$ ya han sido determinados, por lo que no podemos reutilizar ninguno de ellos. Sólo quedan dos valores de nuestras opciones de respuesta: $8$ y $12$ . Podemos elegir cualquiera de ellos para nuestro $x$ valor y todo lo que queramos para nuestro $y$ y tendremos una función.

Answer 3

Hay suficientes respuestas que explican lo que es una función en general, así que en su lugar, me gustaría ver una función en particular y discutirla.

Considere el gráfico de mí caminando a la tienda de comestibles para comprar algunos arenques en escabeche. No lo compro siempre, así que cuando voy a la tienda, tengo que buscarlo.

En el eje horizontal está el tiempo ( $t$ ), que representa el número de minutos desde que salí de casa, y en el eje vertical está la distancia $(d)$ , en metros, que representa la distancia a la que me encuentro de mi casa.

Inicialmente, la distancia (desde casa) aumenta. Esto representa mi paseo a la tienda.

Luego, alterna entre el aumento y la disminución a medida que subo y bajo los pasillos porque el lado oeste de la tienda está más cerca de mi casa que el lado este de la tienda. Lo interesante de esta parte de mi viaje es que puedo estar a la misma distancia de mi casa en diferentes momentos. De hecho, estoy $350$ m de casa no menos de $6$ veces. A veces, incluso puedo estar en el mismo lugar, pero nunca puedo estar en $2$ lugares a la vez (esto es lo que realmente me dirá la prueba de la línea vertical).

Por último, están los dos últimos tramos de mi viaje. Hay una pierna horizontal en esta función, que representa que estoy esperando en la cola del cajero, y que no me muevo en absoluto, por lo que no me alejo ni me acerco a casa. Y por último, disminuyo gradualmente mi distancia hasta llegar a $0$ m (en torno al $28$ minuto).

Hay multitud de otras relaciones científicas en las que una cantidad depende de otra que se modelan como funciones. Piensa en lanzar una pelota al aire. La pelota puede estar a la misma altura en dos momentos diferentes (al subir y al bajar), pero no puede estar a dos alturas diferentes al mismo tiempo (ahí está de nuevo la prueba de la línea vertical).

Por cierto, el arenque en escabeche estaba delicioso.

Answer 4

Ninguna de las otras respuestas es incorrecta, pero dado que eres autodidacta, podría ser esclarecedor ver algunas equivocada respuestas.

$x=6$ , $y=6$

Esto es incorrecto porque no se permite dar un par ordenado que ya se ha proporcionado. Esto no es útil para aprender lo que es una función, pero probablemente es algo que ya has entendido.

$x=6$ , $y=7$

Esto también está mal. La razón por la que es incorrecto es que las otras filas de la tabla ya han definido la función $y$ valor para $x=6$ . Y no es $y=7$ . La esencia de una función (a diferencia de una relación) es que sólo hay una $y$ para cada $x$ .

De hecho, las únicas respuestas incorrectas son las que

• dar una fila que ya está proporcionada
• dar un $x$ que ya se ha proporcionado, y dar un $y$ que es diferente a la que está al lado de la correspondiente $x$

Así que la respuesta correcta es: cualquier $x$ que no esté ya en el $x$ columna, con literalmente cualquier $y$ en la otra columna. El primer punto es sólo para evitar las "trampas"; el segundo punto es realmente el de las funciones.

Answer 5

La siguiente imagen puede ayudarle a pensar en esto de una manera diferente. Como ha señalado Peter, una función sólo puede tener un $x$ -con un único valor $y$ -valor. En la imagen, los puntos $(6,6), (3,8),(9,12),(7,8)$ se han trazado.

Dada la definición de una función, hay que elegir un $x$ -que se corresponde con un $y$ -valor "no está ocupado". Por ejemplo, el punto $(3,6)$ , donde $x=3$ y $y=6$ no funcionará porque $(3,8)$ ya es un punto y $6\neq 8$ . En el contexto de la prueba de la línea vertical y la imagen de abajo, esto significaría que un punto azul aparecería directamente debajo del primer punto azul. Como una línea vertical intersectaría ambos puntos, entonces no tendríamos una función (esta es la prueba de la línea vertical). Por supuesto, podrías hacer algo trivial como listar el punto $(3,6)$ en la tabla de nuevo y tendrías una función, pero los creadores de la prueba se anticiparon a esta "trampa" diciendo: "No repitas un par de órdenes que está en la tabla".

Como ha señalado Peter, el uso de un $x$ -valor de $8$ o $12$ y cualquier corresponsal $y$ -valor será. En el contexto de la imagen, esto funciona porque no hay ningún punto en la línea $x=8$ o $x=12$ .

Una explicación sucia, pero tal vez te haga intuir más.