Qué $f(x) = 1 = \frac{x-1}{x-1}$ tienen un agujero en $x=1$?

Question

Mientras que el aprendizaje acerca de las asíntotas y los agujeros en las funciones racionales en Precálculo, me encontré con un problema que no debería suceder, pero no entiendo. Algo no cuadra en mi cabeza... Aquí vamos:

Sea f(x)=1. Desde $\frac aa=1$$a*1=a$, obviamente $a={a*b \over b}$. Deje $b=(x-1)$. Podemos multiplicar f(x) 1, técnicamente, diciendo que: $$f(x)=1={x-1 \over x-1}$$ Sin embargo, un poco de precalc conocimiento nos muestra que ${x-1 \over x-1}$ tiene una asíntota vertical en x=1, y un intercepto en x en x=1, así. Esto significa que la gráfica tiene un agujero, o no está definida en x=1. (Debido a conectar en 1 para x se obtiene un denominador de 0, que es indefinido.) Sin embargo, esto es absurdo, porque la gráfica de $f(x)=1$ obviamente no tiene agujeros, en cualquier lugar. De alguna manera, multiplicando esta muy simple función de algo equivalente a 1 hace que sea definida en un punto en particular...

Whaaaaa...?

EDIT: me doy cuenta de que la función no tiene asíntota vertical. Sin embargo, mi estado de cuenta se estaba refiriendo al hecho de que parece tener tanto una asíntota vertical y un intercepto en x en el mismo valor de x, lo que significa que no tiene ninguna de esas cosas, sólo un agujero.

Answer 1

No hay asíntota vertical. Una función de $f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$ donde $P$ $Q$ son continuos, tiene una asíntota vertical en $x_0$ si $Q(x_0)=0$ e $P(x)\neq 0$, lo cual no es cierto en su caso.

En su caso, la función de $f(x)=\frac{x-1}{x-1}$ simplemente tiene un agujero.

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En cuanto a por qué ese agujero aparece:

Simple: Es porque la $1=\frac{x-1}{x-1}$ no es cierto para $x=1$. Esto sólo es cierto para $x\in\mathbb R\setminus \{1\}$.

Usted dice que en el principio de que "obviamente", es cierto que $a=\frac{a\cdot b}{b}$, que es una igualdad que sólo es cierto para $b\neq 0$.

En otras palabras, su frase:

De alguna manera, multiplicando esta muy simple función de algo equivalente a 1 hace que sea definida en un punto en particular...

no es cierto, porque no lo multiplicamos por algo equivalente a $1$. Se multiplica con algo que equivale a $1$ en la mayoría de los puntos y es indefinido en un punto determinado.

Answer 2

Cuando se hacen divisiones, como $\frac{f(x)}{p(x)}$, siempre que la afirmación de que p(x) debe ser diferente de 0.